Nosotros podemos trazar la mediatriz de cada uno de los lados de un triángulo.
¿Qué propiedad cumplen las tres mediatrices de un triángulo y qué es la circunferencia circunscrita a un triángulo?
I. Las mediatrices de un triángulo
Definición: la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a este segmento que pasa por su punto medio.
Propiedad: todos los puntos que forman parte de la mediatriz de un segmento AB cumplen la condición de que están a la misma distancia de A y B, es decir, de los extremos del segmento (decimos que son equidistantes aA y B).
Esta propiedad nos permite una construcción fácil, usando la regla y el compás, de la mediatriz del segmento AB que mostramos en la figura 1.
La expresión mediatrices de un triángulo se refiere a las mediatrices de los lados del triángulo. Por consiguiente, un triángulo tiene tres mediatrices.
II. La circunferencia circunscrita a un triángulo
1. Propiedad
Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes. El punto de intersección se encuentra a la misma distancia de los tres vértices del triángulo, y es el único punto que cumple esta propiedad. Este punto se denominacircuncentro.
Por lo tanto, el circuncentro es el centro de una circunferencia cuyo trazado pasa por los tres vértices del triángulo.
Notas:
—Esta circunferencia se llama circunferencia circunscrita al triángulo. También podemos decir que el triángulo se encuentra inscrito en la circunferencia o que la circunferencia circunscribe al triángulo. La palabra circunscribe proviene del latín y significa “escribir alrededor”, y la palabra inscrito significa “escribir dentro”.
—En la práctica, solo es necesario trazar dos mediatrices para encontrar el circuncentro que nos permite trazar la circunferencia circunscrita.
2. Posición del circuncentro
En la figura 2, el circuncentro se encuentra dentro del triángulo. En cambio, si observamos la figura 3, vemos que se encuentra fuera del triángulo.
En la figura 4, el circuncentro se encuentra en el punto medio del lado BC. Esto nos confirma que este triángulo es rectángulo y que el ángulo recto se encuentra en A.
Resumiendo:
—Si todos los ángulos del triángulo son agudos, el circuncentro se encuentra dentro del triángulo.
—Si el triángulo es rectángulo, el circuncentro se encuentra en el punto medio de la hipotenusa.
—Si el triángulo tiene un ángulo obtuso, el circuncentro estará fuera del triángulo.
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