Número natural, el que sirve para designar
la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de
dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El
conjunto de todos ellos se designa por N: N = {0, 1, 2, 3, 4,…,
10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye
del conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para contar), los
números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un
conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que
surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de
ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las
cantidades.
Entre los números naturales están
definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de
sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por
lo que se dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una
operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no
ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo).
Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede
restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación
interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un
número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por
eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede
dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un
tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un
cociente se obtiene un resto
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2
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PROPIEDADES DE LA
ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES
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La adición de números naturales cumple
las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.
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2.1
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Asociativa
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Si a, b, c son números
naturales cualesquiera se cumple que: (a + b) + c = a
+ (b + c)
Por ejemplo: (7 + 4) + 5 = 11 + 5
= 16 7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir, (7 + 4)
+ 5 = 7 + ( 4 + 5)
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2.2
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Conmutativa
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Si a, b son números naturales
cualesquiera se cumple que: a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4,
se verifica que: 7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las propiedades asociativa y
conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales
sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
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2.3
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Elemento neutro
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El 0 es el elemento neutro de
la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se
cumple que: a + 0 = a
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3
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PROPIEDADES DE LA
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
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La multiplicación de números naturales
cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva
del producto respecto de la suma.
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3.1
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Asociativa
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Si a, b, c son números
naturales cualesquiera se cumple que: (a · b) · c = a
· (b · c)
Por ejemplo: (3 · 5) · 2 = 15 · 2
= 30 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir, (3 · 5)
· 2 = 3 · (5 · 2)
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3.2
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Conmutativa
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Si a, b son números naturales
cualesquiera se cumple que: a · b = b · a
Por ejemplo: 5 · 8 = 8 · 5 =
40
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3.3
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Elemento neutro
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El 1 es el elemento neutro de
la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se
cumple que: a · 1 = a
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3.4
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Distributiva del
producto respecto de la suma
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Si a, b, c son números
naturales cualesquiera se cumple que: a · (b + c) = a
· b + a · c
Por ejemplo: 5 · (3 + 8) = 5
· 11 = 55 5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir, 5 · (3 +
8) = 5 · 3 + 5 · 8
