Propiedades de la suma y del producto

Propiedades de la suma y del producto

Las operaciones suma y producto cumplen unas propiedades que vamos a utilizar cuando tengamos que efectuar operaciones más o menos complicadas, de sumas y multiplicaciones combinadas, con paréntesis... La mayoría de las veces, aplicar estas propiedades nos facilitará los cálculos, y con la práctica llegaremos a utilizarlas sin darnos cuenta, de manera casi inconsciente.

PROPIEDADES DE LA SUMA

Vamos a estudiar dos propiedades que cumple la suma: la conmutativa y la asociativa.

1. Si en una suma se cambia el orden de los sumandos, el resultado sigue siendo el mismo. A esta propiedad se le llama conmutativa (porque conmutar significa cambiar).

Por ejemplo, efectuamos la suma 12 + 25 de dos formas, cambiando el orden de los sumandos:

Y comprobamos que el resultado es el mismo, 37; por tanto: 12 + 25 = 25 + 12 = 37

2. Si en una suma de tres o más sumandos, los agrupamos de distinta forma para operar con ellos, el resultado sigue siendo el mismo. A esta propiedad se le llama asociativa (porque asociar es agrupar).

Por ejemplo, efectuamos la suma 17 + 35 + 8, agrupando los sumandos de la forma (17 + 35) + 8:

Si ahora agrupamos los sumandos de la forma: 17 + (35 + 8), resulta:

Y comprobamos que el resultado es el mismo en ambos casos: 60. Es decir, se cumple que: (17 + 35) + 8 = 17 + (35 + 8) 52 + 8 = 17 + 43 60 = 60

Has de fijarte que la resta no cumple ni la propiedad conmutativa ni la asociativa.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO

La multiplicación o producto también cumple las propiedades conmutativa y asociativa.

1. Si en una multiplicación se cambia el orden de los factores, el resultado sigue siendo el mismo. Esta es la propiedad conmutativa del producto.

Por ejemplo, efectuamos la multiplicación 24 × 12 de dos formas, cambiando el orden de los factores:

El resultado es el mismo en los dos casos, 288; por tanto: 24 × 12 = 12 × 24 = 288

2. Si en un producto de tres o más factores, los agrupamos de distinta forma para realizar la operación, el resultado sigue siendo el mismo. Esta es la propiedad asociativa de la multiplicación.

Por ejemplo, efectuamos la multiplicación 12 × 6 × 8 de dos maneras distintas. Primero hallamos (12 × 6) × 8:

Ahora calculamos 12 × (6 × 8):

El resultado es el mismo, 576. Así pues: (12 × 6) × 8 = 12 × (6 × 8) 72 × 8 = 12 × 48 576 = 576

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

Para multiplicar un número por una suma, podemos operar de dos maneras: hacer primero la suma y multiplicar después el resultado por el número, o multiplicar primero el número por cada uno de los sumandos, y hacer después la suma. En ambos casos se obtiene el mismo resultado. Es la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.

Por ejemplo, efectuamos la operación 4 × (3 + 6) de dos maneras:

·                     Hallamos primero la suma 3 + 6 = 9, y multiplicamos después: 4 × 9 = 36.

·                     Multiplicamos 4 × 3 = 12 y 4 × 6 = 24; sumamos después los productos: 12 + 24 = 36.

Obtenemos el mismo resultado, 36, de las dos maneras, así que: 4 × (3 + 6) = 4 × 3 + 4 × 6

También se cumple la propiedad distributiva respecto de la resta.

Por ejemplo, efectuamos la operación 3 × (5 – 2) de dos maneras:

·                     Hallamos primero la resta 5 – 2 = 3, y multiplicamos después: 3 × 3 = 9.

·                     Multiplicamos 3 × 5 = 15 y 3 × 2 = 6; restamos después los productos: 15 – 6 = 9.

Obtenemos el mismo resultado, 9, de las dos maneras. Así pues, queda probado que: 3 × (5 – 2) = 3 × 5 – 3 × 2

Operaciones básicas

Suma

Suma, adición, operación entre números u otros objetos matemáticos.

La palabra suma designa tanto la operación como el resultado de la misma. Por ejemplo, al decir “la suma de números naturales cumple la propiedad asociativa”, la palabra suma hace referencia a la operación. Al decir “la suma de 3 y 2 es 5”, la palabra suma significa el resultado de la operación.

Resta

Resta, sustracción, operación contraria a la suma.

El resultado de restar dos números se llama diferencia.

Multiplicación

Multiplicación, operación entre números u otros objetos matemáticos como polinomios, matrices y funciones. Se designa con el signo · o ×. Véase Aritmética.

División (aritmética)

INTRODUCCIÓN

División (aritmética), la operación opuesta de la multiplicación, para la cual se utiliza el signo : o bien ÷ o /.

5 : 3 = 5 ÷ 3 = 5 / 3

DIVISIÓN ENTERA

Entre dos números naturales a > b se llama división entera de a entre b a la operación en la que se obtienen otros dos números, c, cociente y r, resto, que cumplen las siguientes relaciones:

a = b · c + r 0 ≤ r < b

Entre dos polinomios P(x) y Q(x) tales que grado de P(x) ≥ grado de Q(x), se llama división entera de P(x) entre Q(x) a la operación en la cual se obtienen dos polinomios, C(x), cociente, y R(x), resto, que cumplen las siguientes relaciones:

P(x) = Q(x) · C(x) + R(x) grado de R(x) < grado de Q(x)

Cuando el resto es cero (r = 0 o R(x) = 0) se dice que la división ha sido exacta.