Teoría de números

Teoría de números, rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades y relaciones de los números. Según esta amplia definición, la teoría de números incluye gran parte de las matemáticas, en particular del análisis matemático. Sin embargo, normalmente se limita al estudio de los números enteros y, en ocasiones, a otros conjuntos de números con propiedades similares al conjunto de los enteros.

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TIPOS DE ENTEROS

Si a, b y c son números enteros tales que a = bc, a es un múltiplo de b o de c, y b y c son divisores de a. Si c es distinto de ±1, entonces b se denomina divisor propio de a. Los enteros pares son los múltiplos de 2, incluyendo el 0, como -4, 0, 2 y 10; un entero impar es aquél que no es par, por ejemplo, -5, 1, 3, 9. Un número perfecto es aquel entero positivo que es igual a la suma de todos sus divisores propios positivos (partes alícuotas); por ejemplo, 6 (que es igual a 1 + 2 + 3) y 28 (que es igual a 1 + 2 + 4 + 7 + 14) son números perfectos. Un entero positivo que no es perfecto se denomina imperfecto y puede ser deficiente o superante según que la suma de sus divisores propios positivos sea menor o mayor que él. Así, 9, cuyos divisores son 1 y 3, es deficiente, y 12, cuyos divisores son 1, 2, 3, 4 y 6, es superante.

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NÚMEROS PRIMOS

Gran parte de la teoría de números se dedica al estudio de los números primos. Un número p (p ≠ ±1) es primo si sus únicos divisores son ±1 y ±p. Un número a se denomina compuesto si a = bc, para b y c distintos de ±1. Los diez primeros números primos positivos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29; los diez primeros números compuestos positivos son 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 y 18. Un número compuesto se puede descomponer como producto de números primos o factores primos de forma única (sin considerar el orden de los factores). Por ejemplo, 9 = 3 × 3, 10 = 2 × 5 y 12 = 2 × 2 × 3.

El libro IX de Elementos de geometría del matemático griego Euclides contiene la demostración de que la cantidad de números primos es infinita, es decir, no existe un número primo máximo. La prueba es sencilla: sea p un número primo y q el producto de todos los enteros del 1 al p, más uno, es decir, q = (1 × 2 × 3 × ... × p) + 1. El entero q es mayor que p y no es divisible por ningún entero del 2 al p, ambos inclusive. Cualquier divisor de q distinto de 1, y por tanto cualquier divisor primo, debe ser mayor que p, de donde se deduce que debe haber un número primo mayor que p.

Aunque hay infinitos números primos, estos son cada vez más escasos a medida que se avanza hacia números más grandes. Se sabe que la cantidad de números primos entre 1 y n, para n bastante grande, es aproximadamente n dividido por el logaritmo neperiano de n. Un 25% de los números entre 1 y 100, un 17% de los números entre 1 y 1.000, y un 7% de los números entre 1 y 1.000.000 son primos.

Dos números primos cuya diferencia es 2 (por ejemplo, 5 y 7, 17 y 19, 101 y 103) se denominan primos gemelos. No se sabe si la cantidad de primos gemelos es infinita. Aunque todavía no se ha podido demostrar, se cree que todo número mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos números primos; por ejemplo, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 20 = 3 + 17 y 100 = 3 + 97.

El máximo común divisor de dos enteros a y b es el mayor entero positivo que divide a a y b con resto cero. Si el máximo común divisor de dos enteros es 1, se dice que los dos números son primos relativos o primos entre sí.

Si p, q,…, u son los divisores primos de un entero positivo n, el número de enteros positivos menores que n y primos con n está dado por

Si a, b y m son números enteros tales que a - b es un múltiplo de m —que es positivo— entonces se dice que a es congruente con b respecto al módulo m. Esto se escribe como a : b (mod m)Esta expresión se denomina congruencia. La teoría de la congruencia es una parte importante de la teoría de números. Una de las aplicaciones de la teoría de la congruencia es la resolución de los problemas conocidos como restos chinos. Un ejemplo ilustrativo de este tipo de problema es el siguiente: encontrar los dos primeros enteros positivos cuyos restos son 2, 3 y 2 al ser divididos por 3, 5 y 7 respectivamente. La respuesta, 23 y 128, fue obtenida por el matemático chino Sun-Tsŭ en el siglo I d.C.

Teoría de decisión

Teoría de decisión, estudio formal sobre la toma de decisiones. Los estudios de casos reales, que se sirven de la inspección y los experimentos, se denominan teoría descriptiva de decisión; los estudios de la toma de decisiones racionales, que utilizan la lógica y la estadística, se llaman teoría preceptiva de decisión. Estos estudios se hacen más complicados cuando hay más de un individuo, cuando los resultados de diversas opciones no se conocen con exactitud y cuando las probabilidades de los distintos resultados son desconocidas. La teoría de decisión comparte características con la teoría de juegos, aunque en la teoría de decisión el ‘adversario’ es la realidad en vez de otro jugador o jugadores.

Teoría de catástrofes

Teoría de catástrofes, término que designa el intento de desarrollar un sistema matemático capaz de representar fenómenos naturales discontinuos que no son descritos satisfactoriamente por el cálculo diferencial. Un ejemplo de “catástrofe” puede ser la rotura súbita de una pieza de metal bajo presión.

La teoría de catástrofes fue presentada en 1968 por el matemático francés René Thom, y atrajo a muchos investigadores en la década de los setenta. Se intentó aplicar esta teoría para describir fenómenos discontinuos de las ciencias sociales y biológicas, pero hoy está en desuso por ser poco práctica.

Dos teorías: Teoría de colas y teoría conciliar

Teoría conciliar

Teoría conciliar, la doctrina medieval que afirmaba la superioridad, bajo ciertas circunstancias, de los concilios generales de la Iglesia sobre el papado. Aunque se basa en las enseñanzas primitivas de los abogados del canon, la doctrina no surgió con claridad y significación práctica hasta el Gran Cisma. En un esfuerzo para resolver el cisma, los canonistas y teólogos desarrollaron la posición de que, al menos en una emergencia, un concilio podía juzgar a un Papa y tomar acción en asuntos urgentes que el Papa no podía o no debía mantener. Esta moderada teoría de 'emergencia' parece haber prevalecido en el concilio de Constancia (en 1414-1418), que agudizó el cisma. Una forma más radical fue presentada más tarde en el concilio de Basilea (1431- 1449); de acuerdo con ella los concilios eran en cualquier circunstancia la mayor autoridad de la Iglesia. Esta forma extrema se llama conciliarismo de una forma habitual. El conciliarismo perdió su fuerza dentro de la Iglesia católica en el siglo XVI, pero parte de su herencia en el siglo siguiente fue la aparición del galicanismo, la tendencia, sobre todo en Francia, asumida por el rey y los obispos para afirmar su independencia de la autoridad papal.

Teoría de colas

Teoría de colas, en matemáticas, rama de la teoría de la probabilidad que estudia las opciones más ventajosas para controlar situaciones o procesos en los que existen líneas de espera. Los problemas van desde aviones en espera para aterrizar hasta programas de ordenador o computadora en espera de ser utilizados. Este campo surgió para estudiar redes telefónicas a principios del siglo XX, y se ocupa de factores como el patrón de llegada a la cola, las distintas necesidades de cada nueva llegada, así como de las probabilidades y patrones estadísticos de los tiempos de espera y de procesado.

Constructivismo

Constructivismo

Constructivismo, amplio cuerpo de teorías que tienen en común la idea de que las personas, tanto individual como colectivamente, 'construyen' sus ideas sobre su medio físico, social o cultural. De esa concepción de 'construir' el pensamiento surge el término que ampara a todos. Puede denominarse como teoría constructivista, por tanto, toda aquella que entiende que el conocimiento es el resultado de un proceso de construcción o reconstrucción de la realidad que tiene su origen en la interacción entre las personas y el mundo. Por tanto, la idea central reside en que la elaboración del conocimiento constituye una modelización más que una descripción de la realidad.

Para muchos autores, el constructivismo constituye ya un consenso casi generalizado entre los psicólogos, filósofos y educadores. Sin embargo, algunos opinan que tras ese término se esconde una excesiva variedad de matices e interpretaciones que mantienen demasiadas diferencias. De hecho, algunos autores han llegado a hablar de 'los constructivismos' (André Giordan), ya que mientras existen versiones del constructivismo que se basan en la idea de 'asociación' como eje central del conocimiento (como Robert Gagné o Brunner), otros se centran en las ideas de 'asimilación' y 'acomodación' (Jean Piaget), o en la importancia de los 'puentes o relaciones cognitivas' (David P. Ausubel), en la influencia social sobre el aprendizaje, etc.

Algunos autores han planteado la imposibilidad de obtener consecuencias pedagógicas claras del constructivismo por no ser ésta estrictamente una teoría para la enseñanza; sin embargo, lo cierto es que no es posible comprender las líneas actuales que impulsan la enseñanza moderna sin recurrir a las aportaciones del constructivismo. En España, por ejemplo, la reforma educativa consagrada por la LOGSE se asienta, desde el punto de vista didáctico, en ideas de tipo constructivista, aunque en un sentido muy amplio.

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TIPOS DE CONSTRUCTIVISMO

Como sucede con cualquier doctrina o teoría, el constructivismo alberga en su interior una variedad de escuelas y orientaciones que mantienen ciertas diferencias de enfoque y contenido.

El 'constructivismo piagetiano', que adopta su nombre de Jean Piaget, es el que sigue más de cerca las aportaciones de ese pedagogo, particularmente aquellas que tienen relación con la epistemología evolutiva, es decir, el conocimiento sobre la forma de construir el pensamiento de acuerdo con las etapas psicoevolutivas de los niños. El constructivismo piagetiano tuvo un momento particularmente influyente durante las décadas de 1960 y 1970, impulsando numerosos proyectos de investigación e innovación educativa. Para Piaget, la idea de la asimilación es clave, ya que la nueva información que llega a una persona es 'asimilada' en función de lo que previamente hubiera adquirido. Muchas veces se necesita luego una acomodación de lo aprendido, por lo que debe haber una transformación de los esquemas del pensamiento en función de las nuevas circunstancias.

Por su parte, el 'constructivismo humano' surge de las aportaciones de Ausubel sobre el aprendizaje significativo, a los que se añaden las posteriores contribuciones neurobiológicas de Novak.

El 'constructivismo social', por su parte, se funda en la importancia de las ideas alternativas y del cambio conceptual (Kelly), además de las teorías sobre el procesamiento de la información. Para esta versión del constructivismo son de gran importancia las interacciones sociales entre los que aprenden.

Finalmente, se ha denominado como 'constructivismo radical' (von Glaserfeld) una corriente que rechaza la idea según la cual lo que se construye en la mente del que aprende es un reflejo de algo existente fuera de su pensamiento. En realidad, se trata de una concepción que niega la posibilidad de una transmisión de conocimientos del profesor al alumno, ya que ambos construyen estrictamente sus significados. Los constructivistas radicales entienden la construcción de saberes desde una vertiente darwinista (véase Charles Robert Darwin) y adaptativa, es decir, el proceso cognitivo tiene su razón de ser en la adaptación al medio y no en el descubrimiento de una realidad objetiva. A diferencia de los otros 'constructivismos', en general calificables como 'realistas', el constructivismo radical es idealista porque concibe el mundo como una construcción del pensamiento y, por tanto, depende de él.

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IDEAS FUNDAMENTALES DEL CONSTRUCTIVISMO

Aún teniendo en cuenta la amplia variedad de versiones que coexisten bajo el marbete del constructivismo, pueden destacarse unas pocas ideas fundamentales que caracterizan a esta corriente. Entre ellas está la de las 'ideas previas', entendidas como construcciones o teorías personales, que, en ocasiones, han sido también calificadas como concepciones alternativas o preconcepciones. Otra idea generalmente adscrita a las concepciones constructivistas es la del 'conflicto cognitivo' que se da entre concepciones alternativas y constituirá la base del 'cambio conceptual', es decir, el salto desde una concepción previa a otra (la que se construye), para lo que se necesitan ciertos requisitos.

Junto a los anteriores aspectos, el constructivismo se caracteriza por su rechazo a formulaciones inductivistas o empiristas de la enseñanza, es decir, las tendencias más ligadas a lo que se ha denominado enseñanza inductiva por descubrimiento, donde se esperaba que el sujeto, en su proceso de aprendizaje, se comportara como un inventor. Por el contrario, el constructivismo rescata, por lo general, la idea de enseñanza transmisiva o guiada, centrando las diferencias de aprendizaje entre lo significativo (Ausubel) y lo memorístico.

Como consecuencia de esa concepción del aprendizaje, el constructivismo ha aportado metodologías didácticas propias como los mapas y esquemas conceptuales, la idea de actividades didácticas como base de la experiencia educativa, ciertos procedimientos de identificación de ideas previas, la integración de la evaluación en el propio proceso de aprendizaje, los programas entendidos como guías de la enseñanza, etc.