Actividad radiactiva

Actividad radiactiva

Actividad radiactiva, también denominada velocidad de desintegración de una muestra radiactiva, es el número de núcleos atómicos de una cantidad determinada de esta muestra que se desintegran en un segundo.

En principio, se adoptó como unidad la actividad de 1 gramo de radio, equivalente a 3,7 · 10¹⁰ desintegraciones por segundo y que recibió el nombre de curio (Ci). La unidad actual es el becquerel (Bq), que equivale a un núcleo desintegrado por segundo.

La actividad de una muestra radiactiva es proporcional al número de núcleos radiactivos presentes, λN, donde λ la constante radiactiva, es independiente del estado físico o químico del elemento que se desintegra. Si λ es muy grande, el elemento es muy activo, mientras que si λ tiene un valor pequeño, el elemento es muy poco activo.

Las leyes que rigen la desintegración radiactiva son de tipo estadístico. Es imposible predecir cuándo se desintegrará un núcleo concreto, sólo se puede hablar de la probabilidad de que ese hecho tenga lugar.

Teoría del lugar central

Teoría del lugar central

Teoría del lugar central

La teoría del lugar central fue desarrollada para explicar la distribución espacial de los asentamientos humanos, que están provistos de unos servicios que satisfacen las demandas de su área de mercado circundante. El orden de los asentamientos, que determina una clasificación jerárquica, depende del número y clase de esos servicios. Como se observa en el diagrama de la izquierda, a menudo presentan una jerarquía complicada, porque las áreas de mercado (señaladas con líneas sólidas y discontinuas) de los distintos asentamientos se solapan. Este modelo básico, ideado por Walter Christaller, fue redefinido por varios investigadores, especialmente por August Lösch, que tuvo en cuenta otros factores, como la topografía de un región. El modelo o patrón resultante de las teorías de Lösch, en el diagrama de la derecha, muestra un paisaje menos regular.

Teoría del lugar central, teoría espacial de la geografía humana que trata de explicar el número, tamaño y distribución de los asentamientos y elaborar un sistema a partir del cual pueda estudiarse su estructura mundial. Fue elaborada por el geógrafo alemán Walter Christaller, en 1933, y modificada por August Lösch, también de origen alemán, en 1954.

Esta teoría mantiene que los asentamientos actúan como centros que proporcionan uno o más servicios a las zonas circundantes; su importancia varía según la cantidad y tipos de asentamientos diferentes que dependan de aquéllos y según la cantidad y clase de servicios o funciones que les proporcionen. También clasifica los servicios; entre los de orden o rango inferior se encontrarían los suministrados por la tienda de un pueblo, y entre los de orden superior estarían los ofrecidos por unos grandes almacenes o un hospital.

2

ÁREAS DE MERCADO

La teoría del lugar central también tiene en cuenta la distancia que los individuos están dispuestos a recorrer para obtener un servicio (alcance). Esta distancia, a la que se denomina alcance del producto o alcance del servicio, determina la extensión del área de mercado de un asentamiento, es decir, la zona de influencia (hinterland), donde reside la mayoría de la gente que hace uso de los servicios de ese área. Cuanto más alto sea el orden de un lugar central, mayor es su alcance. Por lo tanto, los lugares en los que sólo se realicen funciones de orden inferior tendrán un área de mercado limitada y sus residentes necesitarán trasladarse a lugares centrales de orden superior para obtener servicios de esa categoría.

Christaller estableció que, en las zonas llanas con asentamientos diseminados de manera uniforme (llanuras isotrópicas), las áreas de mercado son hexagonales y los asentamientos se encuentran en el centro de los hexágonos. Esto se debe a que los hexágonos se entrelazan limpiamente, sin solapamientos, mientras que una estructura circular dejaría sin servicio a algunas zonas. Sin embargo, lo que ocurre habitualmente es que los asentamientos son de distintos órdenes y aquellos de órdenes superiores compiten por abarcar a los de órdenes inferiores dentro de sus áreas de mercado. Por este motivo, pueden establecerse diversos patrones de asentamientos en estructuras hexagonales, un tanto complicados en ocasiones. Suponiendo que existan sólo dos órdenes de lugares centrales —en lugar de los siete que había establecido Christaller—, los asentamientos de orden superior se hallarán en el centro de los hexágonos de sus zonas de mercado adyacentes. De acuerdo con la teoría de Christaller, estarán rodeados por seis asentamientos de orden inferior ubicados conforme a tres patrones principales. En el primer modelo, los lugares centrales de orden inferior podrían estar situados en los seis puntos del hexágono que circunda el lugar central de orden superior; si el paisaje formara una estructura de panal con los hexágonos contiguos, esto supondría que los tres lugares centrales de orden superior vecinos competirían por cada lugar de orden inferior. En el segundo modelo, los lugares centrales de orden inferior podrían estar situados en el centro de los lados del hexágono, lo que significaría que estarían dentro de las áreas de mercado de los dos lugares centrales de orden superior adyacentes. Por último, es posible que todos los lugares centrales de orden inferior estuvieran contenidos en los hexágonos del área de mercado de los lugares centrales de orden superior.

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JERARQUÍA DEL LUGAR CENTRAL

La ordenación de los asentamientos de acuerdo con la extensión de sus áreas de mercado da origen a lo que se conoce como una jerarquía del lugar central. Se puede asignar a cada lugar central un valor, denominado valor k, según el número de lugares de orden inferior que dependan de él. Es frecuente describir el patrón general en términos del valor k. Por ejemplo, el valor k de una jerarquía basada en el segundo patrón descrito anteriormente —aquel en el que los lugares centrales de orden inferior están situados en los lados de los hexágonos que rodean los lugares centrales de orden superior— sería de cuatro, puesto que los seis lugares centrales de orden inferior se reparten entre los dos lugares de orden superior adyacentes. De este modo, cada lugar de orden superior tiene el equivalente de tres (6 dividido entre 2) asentamientos que dependen de él, además de él mismo, con lo que k=4. Pueden darse muchos valores altos para k, especialmente cuando hay más de dos órdenes de lugar central en la jerarquía.

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MODIFICACIÓN REALIZADA POR LÖSCH

No es frecuente que las áreas de mercado formen hexágonos regulares. Los elementos físicos, como los valles y las montañas, afectan a los patrones de asentamiento y a las áreas de mercado, al igual que los factores que mejoran la comunicación en una dirección pero no en otra, como las autopistas. Lösch trató de representar la realidad con más precisión. Consideraba poco probable que los asentamientos estuvieran distribuidos más o menos concéntricamente alrededor de los lugares del orden inmediatamente superior. Por el contrario, opinaba que los asentamientos del orden superior, como las grandes ciudades, limitaban el desarrollo inmediato de asentamientos de orden superior o medio, puesto que las ciudades proporcionarían todos los servicios. En un paisaje löschiano, los lugares centrales pequeños, de orden inferior, se encuentran cerca de asentamientos muy grandes, como los centros metropolitanos, mientras que los asentamientos de orden superior o medio sólo aparecen a una considerable distancia. Y es incluso más probable que se agrupen en una determinada dirección en lugar de distribuirse regularmente alrededor del centro metropolitano.

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LA RELEVANCIA DE LA TEORÍA DEL LUGAR CENTRAL EN LA ACTUALIDAD

A pesar de que pueden detectarse ejemplos de la simetría hexagonal de la teoría del lugar central, aunque con cierta dificultad —únicamente en algunas pequeñas áreas, tales como la región relativamente llana de East Anglia, en Inglaterra, y regiones igualmente planas de Canadá y Australia—, las aplicaciones actuales se centran en la extensión, no en la forma, de las áreas de mercado. Las grandes empresas, como son las cadenas de supermercados, prestan especial atención al área de mercado de una ciudad antes de decidir abrir una sucursal allí. La consideración principal es que haya suficientes clientes potenciales en el área para alcanzar la cantidad mínima o umbral de ventas requerido para que el negocio sea rentable. A fin de cumplir este requisito, una compañía debe tener en cuenta no sólo el número de habitantes, sino también la intención de esa población de desplazarse al centro en el que se encuentra el comercio; carecería de importancia que hubiera suficiente población, si ésta prefiriera desplazarse a otro lugar central. Reflexiones de esta índole influyen en la creación y ubicación de nuevos servicios, como centros de ocio y nuevas ciudades.

Teoría de juegos

Teoría de juegos (matemáticas)

Teoría de juegos (matemáticas), análisis matemático de cualquier situación en la que aparezca un conflicto de intereses, con la intención de encontrar las opciones óptimas para que, en las circunstancias dadas, se consiga el resultado deseado. Aunque la teoría de juegos tiene sus orígenes en el estudio de conocidos pasatiempos como tres en raya, el ajedrez y el póquer —y de ahí su nombre— también incluye conflictos más serios que pueden aparecer en los campos de la sociología, la economía y la ciencia política y militar.

Ciertos aspectos de la teoría de juegos fueron estudiados por primera vez por el matemático francés Émile Borel, quien publicó varios artículos sobre los juegos de azar y la teoría de las partidas. Sin embargo, el matemático estadounidense de origen húngaro John von Neumann es considerado como el padre de la teoría de juegos. En una serie de artículos entre 1920 y 1930, estableció la estructura matemática de todos los desarrollos teóricos posteriores. Durante la II Guerra Mundial, los estrategas militares en los campos de la logística, la guerra submarina y la defensa aérea recurrieron a conceptos directamente relacionados con la teoría de juegos. A partir de entonces esta teoría evolucionó dentro del campo de las ciencias sociales. A pesar de sus aplicaciones empíricas, la teoría de juegos es esencialmente un producto de las matemáticas.

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CONCEPTOS FUNDAMENTALES

En la teoría de juegos, la palabra juego se refiere a un tipo especial de conflicto en el que toman parte n individuos o grupos (conocidos como los jugadores). Hay ciertas reglas del juego que dan las condiciones para que éste comience, las posibles jugadas legales durante las distintas fases del juego, el número total de jugadas que constituye una partida completa y los posibles resultados cuando la partida finaliza.

2.1

Jugada

Una jugada o movimiento es cómo progresa el juego de una fase a otra, comenzando con la posición inicial hasta el último movimiento. Las jugadas pueden ser alternativas entre los distintos jugadores de una manera determinada o pueden ser simultáneas, y son el producto de una decisión personal o del azar; en este segundo caso, un cierto objeto como un dado, una tarjeta con instrucciones o una ruleta genera una determinada jugada, cuya probabilidad se puede calcular.

2.2

Ganancia

La ganancia o resultado, designa lo que sucede cuando una partida termina. En algunos juegos, como el ajedrez o las damas, el resultado puede ser tan sencillo como declarar un ganador o un perdedor. En el póquer y otros juegos con apuestas, la ganancia suele ser dinero, cuya cantidad viene determinada por el dinero que cada jugador apuesta y por el número de veces que un cierto jugador gana durante el curso de la partida.

2.3

Formas normal y extensa

Una de las diferencias más importantes al estudiar los juegos es que estén dados en forma normal o extensa. Se dice que un juego está en su forma extensa si es definido por un conjunto de reglas que fijan las posibles jugadas en todo momento, incluyendo qué jugador tiene que mover, la probabilidad de cada opción si las jugadas se han de hacer de forma aleatoria y el conjunto de resultados finales que relaciona una ganancia o resultado particular con cada una de las posibles maneras de terminar el juego. Además se asume que cada jugador tiene un conjunto de preferencias para cada jugada, en anticipación de los posibles resultados, para procurarse la máxima ganancia o las mínimas pérdidas. Un juego en su forma extensa contiene, no sólo una lista de reglas que controlan la actividad de cada jugador, sino también la pauta de preferencias de cada uno de ellos. Algunos ejemplos son juegos muy conocidos como las damas, tres en raya y cualquier juego de azar con cartas o fichas como el gin rummy, el tute que se juega con baraja española, y el dominó.

Debido a la enorme cantidad de estrategias que aparecen incluso en el más sencillo de los juegos en forma extensa, la teoría de juegos utiliza las llamadas formas normalizadas de los juegos con las que se pueden llevar a cabo cálculos completos. Se dice que un juego está en su forma normal si la lista de todas las posibles ganancias o resultados de cada jugador, con todas las posibles combinaciones de estrategias, viene dada para cualquier secuencia de decisiones en el juego. Este tipo teórico de juego podría ser jugado por cualquier observador neutral y no depende de la elección de estrategia por parte del jugador.

2.4

Información completa

Se dice que en un juego se tiene toda la información si cada uno de los jugadores que toma parte conoce todas las posibles jugadas. Las damas y el ajedrez son dos juegos que ofrecen total información, mientras que el póquer, el bridge y el mus son juegos donde los jugadores sólo disponen de parte de la información.

2.5

Estrategia

Una estrategia es la lista de opciones óptimas para cada jugador en cualquier momento del juego. Una estrategia, teniendo en cuenta todas las posibles jugadas, es un plan que no se puede alterar, pase lo que pase en la partida.

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TIPOS DE JUEGOS

La teoría de juegos distingue varios tipos de juegos, según el número de jugadores y las circunstancias del juego.

3.1

Juegos individuales

Los juegos como los solitarios son juegos individuales donde no existe realmente un conflicto de intereses. El único interés que interviene es el del propio jugador. En los solitarios, sólo entra en juego el azar al barajar y al repartir las cartas. Los juegos individuales, aunque pueden ser complicados e interesantes desde el punto de vista de la probabilidad, no lo son desde la perspectiva de la teoría de juegos, pues no hay adversario que tome decisiones estratégicas independientes que el jugador deba combatir.

3.2

Juegos de dos jugadores

Los juegos de dos jugadores, o duales, incluyen la mayor parte de los juegos más conocidos, como el ajedrez, las damas o juegos con dos parejas como el bridge y el dominó. Los juegos con dos jugadores han sido estudiados ampliamente. La mayor dificultad para extender los resultados de la teoría con dos jugadores a n jugadores es predecir las relaciones entre los diversos jugadores. En casi todos los juegos para dos personas, las decisiones y posibles resultados son bastante bien conocidos. Sin embargo, cuando hay tres o más jugadores, aparecen interesantes, aunque complicadas, oportunidades de coalición, cooperación y confabulación.

3.3

Juegos de suma nula

Se dice que un juego es de suma nula si el total de las ganancias al final de la partida es cero; es decir, si el total de las ganancias es igual al total de las pérdidas. En el campo de la economía, los juegos de suma nula se refieren a la no existencia de producción o destrucción de bienes durante el 'juego económico'. En 1944 von Neumann y Oskar Morgenstern demostraron que un juego cualquiera con n jugadores y suma no nula se puede reducir a un juego con n + 1 jugadores y suma nula. Además, estos juegos con n + 1 jugadores se pueden generalizar a partir del caso particular de dos jugadores con suma nula. Por esta razón, estos últimos juegos son el principal objeto de estudio de la teoría matemática de los juegos. Uno de los más importantes teoremas en este campo establece que los diversos aspectos de la estrategia máximo-mínimo (estrategia que consiste en beneficiar más al jugador con más desventaja) se cumplen para todos los juegos de dos jugadores con suma cero. Conocido como el teorema minimax, fue demostrado por primera vez en 1928 por von Neumann; después se ha demostrado en términos generales utilizando diversos métodos.

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APLICACIONES

Las aplicaciones de la teoría de juegos son muy variadas y han dado lugar a un continuo incremento del interés por su estudio. Von Neumann y Morgenstern mostraron la utilidad inmediata de su teoría de juegos matemáticos al emplearla para estudiar el comportamiento de la economía. Se pueden construir modelos que representan a los mercados financieros con diferentes números de compradores y vendedores, fluctuación de los valores de la oferta y la demanda, variaciones cíclicas o estacionales, además de diferencias estructurales que dependerán de la economía estudiada. En este campo, la teoría de juegos es especialmente útil para analizar los conflictos de interés entre obtener mayores beneficios e incrementar la distribución de bienes y servicios. La división equitativa de propiedades y herencias es otro ámbito de interés legal y económico que puede estudiarse con las técnicas de la teoría de juegos.

En las ciencias sociales, la teoría de juegos con n jugadores tiene importantes aplicaciones, como por ejemplo la distribución de poder en los trámites legislativos. También se pueden estudiar los problemas de gobierno en mayoría y de toma de decisión individual.

Los sociólogos han desarrollado toda una rama de la teoría de juegos para estudiar los problemas que aparecen en la toma de decisiones en grupos. En epidemiología también se utiliza la teoría de juegos, especialmente con respecto a operaciones de inmunización y métodos de prueba de vacunas y otros medicamentos. Los estrategas militares usan la teoría de juegos para estudiar conflictos de interés, aunque el uso de esta teoría para analizar acontecimientos políticos o militares ha sido criticado como inhumano y potencialmente peligroso por simplificar lo que en realidad son factores muy complicados.

Cuerpo negro

Cuerpo negro

Distribución de energía radiada por un cuerpo negro

La gráfica representa la distribución de la energía (línea roja) radiada por un cuerpo negro para varias longitudes de onda. Para las longitudes de onda más cortas, la energía aumenta a medida que aumenta la temperatura.

Cuerpo negro, en física teórica, un objeto ideal que absorbe toda la radiación que llega a su superficie sin reflejar ninguna ni emitir radiación propia. No se conoce ningún objeto así, aunque una superficie de negro de carbono puede llegar a absorber aproximadamente un 97% de la radiación incidente. En teoría, un cuerpo negro sería también un emisor perfecto de radiación, y emitiría a cualquier temperatura la máxima cantidad de energía disponible. A una temperatura dada, emitiría una cantidad definida de energía en cada longitud de onda. A raíz del fracaso de los intentos de calcular la radiación de un cuerpo negro ideal según la física clásica, se desarrollaron por primera vez los conceptos básicos de la teoría cuántica.

Constante de Planck

Constante de Planck

Constante de Planck, constante física fundamental simbolizada por la letra h. Su existencia fue descubierta en 1900 por el físico alemán Max Planck. Hasta entonces se creía que todas las formas de radiación electromagnética estaban constituidas por ondas. Planck observó ciertas desviaciones de la teoría ondulatoria en el caso de las radiaciones emitidas por los llamados cuerpos negros, que absorben y emiten radiación de forma perfecta. Planck llegó a la conclusión de que la radiación electromagnética se emite en unidades discretas de energía, llamadas cuantos. Esta conclusión fue el primer enunciado de la teoría cuántica. Según Planck, la energía de un cuanto de luz es igual a la frecuencia de la luz multiplicada por una constante. Desde entonces, la teoría de Planck ha sido verificada experimentalmente en muchas ocasiones, y el desarrollo de la teoría cuántica ha producido un cambio radical en el concepto que se tiene en física de la luz y de la materia; en la actualidad, se considera que ambas combinan las propiedades de una onda y de una partícula. Así, la constante de Planck se ha vuelto tan importante para la investigación de las partículas de materia como para los cuantos de luz, ahora denominados fotones. La primera medida fiable de la constante de Planck (1916) se debió al físico estadounidense Robert Millikan. El valor actualmente aceptado es h = 6,626 × 10^-34 julios·segundo.

Fuerzas fundamentales

Fuerzas fundamentales

Fuerzas fundamentales

Las cuatro fuerzas fundamentales (gravitatoria, nuclear débil, electromagnética y nuclear fuerte) mantienen unidas las partículas y las hacen interaccionar, dando forma a la materia y al Universo. Cada una de ellas es transmitida por unas partículas muy especiales llamadas bosones. La fuerza gravitatoria es la más débil de las fuerzas fundamentales; es transmitida por el gravitón (partícula cuya existencia todavía no ha sido confirmada experimentalmente) y está ligada a la masa de los cuerpos. La fuerza más intensa es la nuclear fuerte, transmitida por el gluón, que actúa en el interior del núcleo, entre los quarks que forman protones y neutrones. De intensidad intermedia son la fuerza electromagnética, que une los electrones a los núcleos en átomos y moléculas, y la fuerza nuclear débil, responsable de las desintegraciones radiactivas y de algunas reacciones nucleares que tienen lugar en el interior de las estrellas. Estas dos fuerzas, como demostraron Abdus Salam, Steven Weinberg y Sheldon Lee Glashow (premios Nobel de Física en 1979), son dos manifestaciones diferentes del mismo tipo de interacción: la fuerza electrodébil.

Fuerzas fundamentales, aquellas fuerzas del Universo que no se pueden explicar en función de otras más básicas. Las fuerzas o interacciones fundamentales conocidas hasta ahora son cuatro: gravitatoria, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil.

La gravitatoria es la fuerza de atracción que un trozo de materia ejerce sobre otro, y afecta a todos los cuerpos. Es una fuerza muy débil pero de alcance infinito.

La fuerza electromagnética afecta a los cuerpos eléctricamente cargados, y es la fuerza involucrada en las transformaciones físicas y químicas de átomos y moléculas. Es mucho más intensa que la fuerza gravitatoria y su alcance es infinito.

La fuerza o interacción nuclear fuerte es la que mantiene unidos los componentes de los núcleos atómicos, y actúa indistintamente entre dos nucleones cualesquiera, protones o neutrones. Su alcance es del orden de las dimensiones nucleares (10^-15 m), pero es más intensa que la fuerza electromagnética.

La fuerza o interacción nuclear débil es la responsable de la desintegración beta de los neutrones (véase Física nuclear); los neutrinos son sensibles únicamente a este tipo de interacción. Su intensidad es menor que la de la fuerza electromagnética y su alcance es aún menor que el de la interacción nuclear fuerte (10^-18 m).

Todo lo que sucede en el Universo es debido a la actuación de una o varias de estas fuerzas que se diferencian unas de otras porque cada una implica el intercambio de un tipo diferente de partícula, denominada partícula de intercambio o intermediaria. Todas las partículas de intercambio son bosones, mientras que las partículas origen de la interacción son fermiones (véase Partículas elementales; Átomo).

En la actualidad, los científicos intentan demostrar que todas estas interacciones, aparentemente diferentes, son manifestaciones, en circunstancias distintas, de un modo único de interacción. El término ‘teoría del campo unificado‘ engloba a las nuevas teorías en las que dos o más de las cuatro fuerzas fundamentales aparecen como si fueran básicamente idénticas. La teoría de la gran unificación intenta unir en un único marco teórico las interacciones nuclear fuerte y nuclear débil, y la fuerza electromagnética. Esta teoría de campo unificado se halla todavía en proceso de ser comprobada. La teoría del todo es otra teoría de campo unificado que pretende proporcionar una descripción unificada de las cuatro fuerzas fundamentales. Hoy, la mejor candidata a convertirse en una teoría del todo es la teoría de supercuerdas.

Teoría de gauge

Teoría de gauge

Teoría de gauge, expresión utilizada para definir el conjunto de las teorías cuánticas de los campos relativistas que tienen la propiedad de ser invariantes respecto a un determinado grupo de transformaciones del espacio y del tiempo (invariancia de gauge).

La primera teoría de gauge fue la electrodinámica cuántica, es decir, la teoría cuántica del campo electromagnético, formulada hacia finales de la década de 1920 por los físicos P. A. M. Dirac, W. Heisenberg y W. Pauli. Tras esta primera teoría surgieron la cromodinámica cuántica, la teoría cuántica de la interacción fuerte, expuesta en 1954 por C. N. Yang y R. L. Mills, y más tarde la teoría electrodébil, el modelo estándar y la teoría de la gran unificación. La invariancia de gauge, que es básicamente una propiedad de simetría, es importante en la medida en que implica siempre una ley de conservación. Por ejemplo, la invariancia propia de la electrodinámica cuántica implica el principio de conservación de la carga eléctrica, del mismo modo que la invariancia de la cromodinámica cuántica implica la conservación de una magnitud cuántica propia de los nucleones, denominada espín isotópico.

El principio de las teorías de gauge puede interpretarse como la generalización cuántica de la invariancia de gauge clásica, es decir, de la propiedad por la cual las características del campo electromagnético no varían si a los correspondientes potenciales —escalar y vectorial— se les añaden funciones arbitrarias oportunas. Esta indeterminación sobre los potenciales electromagnéticos es aprovechada posteriormente para imponer condiciones restrictivas que simplifican la solución de las ecuaciones de Maxwell (gauge de Lorentz).

Según las características del grupo en que se basa, una teoría de gauge puede ser abeliana o no abeliana. La electrodinámica cuántica es una teoría de gauge abeliana, ya que el grupo de transformaciones respecto al cual resulta invariante es abeliano, es decir, está constituido por elementos que cumplen la propiedad conmutativa. Las otras teorías de gauge, entre las que se encuentran la cromodinámica cuántica y la teoría electrodébil, no tienen las mismas propiedades. Una característica muy importante que vincula a todas las teorías de gauge, atañe a la posibilidad de resolver las denominadas dificultades de divergencia que afectan generalmente a las teorías cuánticas de los campos. Estas dificultades consisten en que el valor previsto por la teoría para determinadas magnitudes físicas resulta infinito. Mediante una compleja técnica matemática, denominada renormalización, es posible, en lo que se refiere a las teorías de gauge, superar estas dificultades formales (véase Partículas elementales).

Teoría de conjuntos

Teoría de conjuntos

Teoría de conjuntos

Estos diagramas muestran diversas formas de agrupar objetos, o elementos, de dos conjuntos. R es un subconjunto de S si todo elemento de R también pertenece a S (superior izquierda). Por ejemplo, los números impares R = {1,3,5,7,9} son un subconjunto del conjunto de números enteros S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. La unión de A y B es un conjunto formado por todos los elementos de A y todos los de B (superior derecha). Por ejemplo, si A = {2,3,4,5} y B = {4,5,6,7}, entonces A È B = {2,3,4,5,6,7}. La intersección de A y B son los elementos comunes a ambos (inferior izquierda). Por ejemplo, A Ç B = {4,5}. La diferencia de B menos A son los elementos de B que no pertenecen a A (inferior derecha). Por ejemplo, B - A = {6,7}.

Teoría de conjuntos, rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito.

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ALGUNAS DEFINICIONES

Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto: utilizando símbolos a e S representa que el elemento a pertenece o está contenido en el conjunto S, o lo que es lo mismo, el conjunto S contiene al elemento a. Un conjunto S está definido si dado un objeto a, se sabe con certeza que o a e S o a  S (esto es, a no pertenece a S).

Un conjunto se representa frecuentemente mediante llaves que contienen sus elementos, ya sea de forma explícita, escribiendo todos y cada uno de los elementos, o dando una fórmula, regla o proposición que los describa. Por ejemplo, S₁ = {2, 4}; S₂ = {2, 4, 6, ..., 2n, ...} = {todos los enteros pares}; S₃ = {x | x²- 6x + 11 ≥ 3}; S₄ = {todos los varones vivos llamados Juan}. S₃ se describe como el conjunto de todas las x tales que x²- 6x + 11 ≥ 3.

2.1

Subconjuntos y superconjuntos

Si todo elemento de un conjunto R pertenece también al conjunto S, R es un subconjunto de S, y S es un superconjunto de R; utilizando símbolos, R Ì S, o S É R. Todo conjunto es un subconjunto y un superconjunto de sí mismo. Si R Ì S, y al menos un elemento de S no pertenece a R, se dice que R es un subconjunto propio de S, y S es un superconjunto propio de R. Si R Ì S y S É R, es decir, todo elemento de un conjunto pertenece también al otro, entonces R y S son dos conjuntos iguales, lo que se escribe R = S. En los ejemplos del apartado anterior, S₁ es un subconjunto propio de S₂.

2.2

Unión e intersección

Si A y B son dos subconjuntos de un conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos forman otro subconjunto de S llamado unión de A y B, escrito A È B. Los elementos comunes a A y B forman un subconjunto de S denominado intersección de A y B, escrito A Ç B. Si A y B no tienen ningún elemento común, su intersección no tiene ningún elemento, y siendo conveniente representar esta intersección como otro conjunto, éste se denomina conjunto vacío o nulo y se representa con el símbolo Æ. Por ejemplo, si A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} y C = {10, 14, 16, 26}, entonces A È B = {2, 4, 6, 8, 10}, A È C = {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26}, A Ç B = {4, 6} y A Ç C = Æ.

2.3

Diferencia y complementario

El conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B se denomina conjunto diferencia entre A y B, escrito A - B (y a veces A\B). Así, siguiendo con el ejemplo anterior, A - B = {2}, B - A = {8, 10}. Si A es un subconjunto del conjunto l, el conjunto de los elementos que pertenecen a l pero no a A, es decir, l - A, se denomina conjunto complementario de A (con respecto a l), lo que se escribe l - A = A′ (que también puede aparecer como Ā, Ã o ~A).

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ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

Las siguientes propiedades, utilizando las definiciones del apartado anterior, se cumplen si A, B, C... son subconjuntos de un conjunto l:

1. A È B = B È A
2. A Ç B = B Ç A
3. (A È B) È C = A È (B È C)
4. (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
5. A È Æ = A
6. A Ç Æ = Æ
7. A È l = l
8. A Ç l = A
9. A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)
10. A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
11. A È A′ = l
12. A Ç A′ = Æ
13. (A È B)′ = A′ Ç B′
14. (A Ç B)′ = A′ È B′
15. A È A = A Ç A = A
16. (A′)′ = A
17. A - B = A Ç B′
18. (A - B) - C = A - (B È C)
19. Si A Ç B = Æ, entonces (A È B) - B = A
20. A - (B È C) = (A - B) Ç (A - C)

Éstas son las propiedades del álgebra de conjuntos, que es un caso particular del sistema algebraico conocido como álgebra de Boole.

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PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS

Si A y B son dos conjuntos, el conjunto de todos los posibles pares ordenados de elementos de la forma (a, b), donde a pertenece a A y b pertenece a B, se denomina producto cartesiano de A y B, que se escribe normalmente A × B. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {x, y, z}, entonces A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}. Y B × A = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (x, 2), (y, 2), (z, 2)}. En este caso, A ×  B≠ B × A, pues al ser pares ordenados, el par (1, x) es distinto del par (x, 1).

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CORRESPONDENCIA ENTRE CONJUNTOS

Los elementos del conjunto A = {1, 2, 3} se pueden relacionar o hacer corresponder mediante una correspondencia f con los del conjunto B = {x, y, z} de modo que a todo elemento de A le corresponda uno, ninguno o varios elementos de B. Por ejemplo:

Esto se puede expresar también así: f(1) = {x, z}, f(2) = Æ, f(3) = {z}. También se puede decir que f = {(1, x), (1, z), (3, z)}. Por tanto, una correspondencia entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A × B.

Cuando una correspondencia es tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo uno del segundo conjunto, entonces se llama aplicación.