Teoría de juegos

Teoría de juegos (matemáticas)

Teoría de juegos (matemáticas), análisis matemático de cualquier situación en la que aparezca un conflicto de intereses, con la intención de encontrar las opciones óptimas para que, en las circunstancias dadas, se consiga el resultado deseado. Aunque la teoría de juegos tiene sus orígenes en el estudio de conocidos pasatiempos como tres en raya, el ajedrez y el póquer —y de ahí su nombre— también incluye conflictos más serios que pueden aparecer en los campos de la sociología, la economía y la ciencia política y militar.

Ciertos aspectos de la teoría de juegos fueron estudiados por primera vez por el matemático francés Émile Borel, quien publicó varios artículos sobre los juegos de azar y la teoría de las partidas. Sin embargo, el matemático estadounidense de origen húngaro John von Neumann es considerado como el padre de la teoría de juegos. En una serie de artículos entre 1920 y 1930, estableció la estructura matemática de todos los desarrollos teóricos posteriores. Durante la II Guerra Mundial, los estrategas militares en los campos de la logística, la guerra submarina y la defensa aérea recurrieron a conceptos directamente relacionados con la teoría de juegos. A partir de entonces esta teoría evolucionó dentro del campo de las ciencias sociales. A pesar de sus aplicaciones empíricas, la teoría de juegos es esencialmente un producto de las matemáticas.

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CONCEPTOS FUNDAMENTALES

En la teoría de juegos, la palabra juego se refiere a un tipo especial de conflicto en el que toman parte n individuos o grupos (conocidos como los jugadores). Hay ciertas reglas del juego que dan las condiciones para que éste comience, las posibles jugadas legales durante las distintas fases del juego, el número total de jugadas que constituye una partida completa y los posibles resultados cuando la partida finaliza.

2.1

Jugada

Una jugada o movimiento es cómo progresa el juego de una fase a otra, comenzando con la posición inicial hasta el último movimiento. Las jugadas pueden ser alternativas entre los distintos jugadores de una manera determinada o pueden ser simultáneas, y son el producto de una decisión personal o del azar; en este segundo caso, un cierto objeto como un dado, una tarjeta con instrucciones o una ruleta genera una determinada jugada, cuya probabilidad se puede calcular.

2.2

Ganancia

La ganancia o resultado, designa lo que sucede cuando una partida termina. En algunos juegos, como el ajedrez o las damas, el resultado puede ser tan sencillo como declarar un ganador o un perdedor. En el póquer y otros juegos con apuestas, la ganancia suele ser dinero, cuya cantidad viene determinada por el dinero que cada jugador apuesta y por el número de veces que un cierto jugador gana durante el curso de la partida.

2.3

Formas normal y extensa

Una de las diferencias más importantes al estudiar los juegos es que estén dados en forma normal o extensa. Se dice que un juego está en su forma extensa si es definido por un conjunto de reglas que fijan las posibles jugadas en todo momento, incluyendo qué jugador tiene que mover, la probabilidad de cada opción si las jugadas se han de hacer de forma aleatoria y el conjunto de resultados finales que relaciona una ganancia o resultado particular con cada una de las posibles maneras de terminar el juego. Además se asume que cada jugador tiene un conjunto de preferencias para cada jugada, en anticipación de los posibles resultados, para procurarse la máxima ganancia o las mínimas pérdidas. Un juego en su forma extensa contiene, no sólo una lista de reglas que controlan la actividad de cada jugador, sino también la pauta de preferencias de cada uno de ellos. Algunos ejemplos son juegos muy conocidos como las damas, tres en raya y cualquier juego de azar con cartas o fichas como el gin rummy, el tute que se juega con baraja española, y el dominó.

Debido a la enorme cantidad de estrategias que aparecen incluso en el más sencillo de los juegos en forma extensa, la teoría de juegos utiliza las llamadas formas normalizadas de los juegos con las que se pueden llevar a cabo cálculos completos. Se dice que un juego está en su forma normal si la lista de todas las posibles ganancias o resultados de cada jugador, con todas las posibles combinaciones de estrategias, viene dada para cualquier secuencia de decisiones en el juego. Este tipo teórico de juego podría ser jugado por cualquier observador neutral y no depende de la elección de estrategia por parte del jugador.

2.4

Información completa

Se dice que en un juego se tiene toda la información si cada uno de los jugadores que toma parte conoce todas las posibles jugadas. Las damas y el ajedrez son dos juegos que ofrecen total información, mientras que el póquer, el bridge y el mus son juegos donde los jugadores sólo disponen de parte de la información.

2.5

Estrategia

Una estrategia es la lista de opciones óptimas para cada jugador en cualquier momento del juego. Una estrategia, teniendo en cuenta todas las posibles jugadas, es un plan que no se puede alterar, pase lo que pase en la partida.

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TIPOS DE JUEGOS

La teoría de juegos distingue varios tipos de juegos, según el número de jugadores y las circunstancias del juego.

3.1

Juegos individuales

Los juegos como los solitarios son juegos individuales donde no existe realmente un conflicto de intereses. El único interés que interviene es el del propio jugador. En los solitarios, sólo entra en juego el azar al barajar y al repartir las cartas. Los juegos individuales, aunque pueden ser complicados e interesantes desde el punto de vista de la probabilidad, no lo son desde la perspectiva de la teoría de juegos, pues no hay adversario que tome decisiones estratégicas independientes que el jugador deba combatir.

3.2

Juegos de dos jugadores

Los juegos de dos jugadores, o duales, incluyen la mayor parte de los juegos más conocidos, como el ajedrez, las damas o juegos con dos parejas como el bridge y el dominó. Los juegos con dos jugadores han sido estudiados ampliamente. La mayor dificultad para extender los resultados de la teoría con dos jugadores a n jugadores es predecir las relaciones entre los diversos jugadores. En casi todos los juegos para dos personas, las decisiones y posibles resultados son bastante bien conocidos. Sin embargo, cuando hay tres o más jugadores, aparecen interesantes, aunque complicadas, oportunidades de coalición, cooperación y confabulación.

3.3

Juegos de suma nula

Se dice que un juego es de suma nula si el total de las ganancias al final de la partida es cero; es decir, si el total de las ganancias es igual al total de las pérdidas. En el campo de la economía, los juegos de suma nula se refieren a la no existencia de producción o destrucción de bienes durante el 'juego económico'. En 1944 von Neumann y Oskar Morgenstern demostraron que un juego cualquiera con n jugadores y suma no nula se puede reducir a un juego con n + 1 jugadores y suma nula. Además, estos juegos con n + 1 jugadores se pueden generalizar a partir del caso particular de dos jugadores con suma nula. Por esta razón, estos últimos juegos son el principal objeto de estudio de la teoría matemática de los juegos. Uno de los más importantes teoremas en este campo establece que los diversos aspectos de la estrategia máximo-mínimo (estrategia que consiste en beneficiar más al jugador con más desventaja) se cumplen para todos los juegos de dos jugadores con suma cero. Conocido como el teorema minimax, fue demostrado por primera vez en 1928 por von Neumann; después se ha demostrado en términos generales utilizando diversos métodos.

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APLICACIONES

Las aplicaciones de la teoría de juegos son muy variadas y han dado lugar a un continuo incremento del interés por su estudio. Von Neumann y Morgenstern mostraron la utilidad inmediata de su teoría de juegos matemáticos al emplearla para estudiar el comportamiento de la economía. Se pueden construir modelos que representan a los mercados financieros con diferentes números de compradores y vendedores, fluctuación de los valores de la oferta y la demanda, variaciones cíclicas o estacionales, además de diferencias estructurales que dependerán de la economía estudiada. En este campo, la teoría de juegos es especialmente útil para analizar los conflictos de interés entre obtener mayores beneficios e incrementar la distribución de bienes y servicios. La división equitativa de propiedades y herencias es otro ámbito de interés legal y económico que puede estudiarse con las técnicas de la teoría de juegos.

En las ciencias sociales, la teoría de juegos con n jugadores tiene importantes aplicaciones, como por ejemplo la distribución de poder en los trámites legislativos. También se pueden estudiar los problemas de gobierno en mayoría y de toma de decisión individual.

Los sociólogos han desarrollado toda una rama de la teoría de juegos para estudiar los problemas que aparecen en la toma de decisiones en grupos. En epidemiología también se utiliza la teoría de juegos, especialmente con respecto a operaciones de inmunización y métodos de prueba de vacunas y otros medicamentos. Los estrategas militares usan la teoría de juegos para estudiar conflictos de interés, aunque el uso de esta teoría para analizar acontecimientos políticos o militares ha sido criticado como inhumano y potencialmente peligroso por simplificar lo que en realidad son factores muy complicados.