Estadística: conceptos

Población, carácter, modalidad, frecuencia de un valor, y valores agrupados por clases son expresiones comúnmente utilizadas en estadística.
Pero, ¿qué significa exactamente cada uno de estos términos?

I. Un estudio estadístico acerca de la televisión
Un grupo de alumnos ha realizado una encuesta en su colegio. Han preguntado a sus compañeros de 2º de E.S.O. cuánto tiempo dedican durante la semana a ver la televisión. Podemos ver los resultados de la encuesta en la tabla de abajo.



1. Población y muestra

En la encuesta, todos los alumnos del colegio forman la población; el estudio está basado en ellos. Si realizamos un estudio estadístico sobre el color de los coches que se han vendido este año en nuestro país, la población sería todos los coches.
Pero al realizar un análisis estadístico puede resultar muy complicado tener acceso a toda la población. Por lo tanto, lo que hacemos es escoger solo una parte de la población para realizar el estudio, es decir, escogemos una muestra que sea lo suficientemente representativa. En el estudio sobre la televisión, los alumnos de 2º de E.S.O. sería la muestra que hemos elegido como representativa de toda la población del centro.

2. Carácter cuantitativo y carácter cualitativo
En un estudio estadístico, el carácter es aquello que hemos elegido como objeto de estudio y que va a ser observado y analizado sobre la muestra de población seleccionada.

Para la encuesta sobre la televisión, el carácter es el número de horas dedicadas a ver la televisión. Si el carácter se puede expresar mediante un valor numérico, entonces decimos que el carácter es de tipocuantitativo.

En el caso del estudio del color de los coches, el carácter es un color. Este carácter no puede ser expresado mediante un valor numérico, por eso decimos que se trata de un carácter cualitativo.

3. Modalidad o valor
El estudio de un carácter sobre una población nos suele proporcionar resultados muy diversos (diferentes respuestas u observaciones sobre una misma pregunta); esta variedad de resultados o de posibles respuestas que podemos obtener recibe el nombre de valor o modalidad.
Por lo general, utilizamos el término modalidad cuando nos referimos a caracteres de tipo cualitativo y el término valor cuando hacemos referencia a caracteres de tipo cuantitativo.
En el estudio sobre la televisión, los valores son el número de horas que aparecen en la primera fila de la tabla (0 h, 1 h, 2 h, etc.).

En el caso del estudio sobre el color de los coches, las modalidades podrían ser: blanco, verde, negro, rojo, azul, etc.

4. Frecuencia
La frecuencia total es el número de individuos que forman la muestra elegida.
En la encuesta sobre la televisión, la frecuencia total es el número de alumnos entrevistados. La podemos calcular sumando los valores de la segunda fila de la tabla:

15 + 3 + 7 + 19 + 27 + 26 + 23 + 15 + 17 + 8 + 14 + 5 + 3 + 1 + 2 + 1 + 1 = 187
En la tabla observamos que hay 15 alumnos que no ven la televisión (0 horas), 3 alumnos que ven la televisión 1 hora a la semana, 7 alumnos que la ven 2 horas, etc.
Podemos expresar todo esto diciendo que la frecuencia del valor 0 es 15, la frecuencia del valor 1 es 3, la frecuencia del valor 2 es 7, etc.

Nota: no debemos confundir la frecuencia de un valor con la frecuencia total.

II. Después de la encuesta: los valores se pueden agrupar por clases
Supongamos que estamos interesados en tres categorías de alumnos:
—aquellos que ven la televisión menos de 7 horas a la semana (0 h a 6 h);
—aquellos que ven la televisión al menos 7 horas pero menos de 14 (7 h a 13 h);
—aquellos que ven la televisión más de 14 horas a la semana (14 h a 16 h).
Con esta nueva estructura que hemos dado a los datos, podemos crear una nueva tabla que tendría este aspecto:



La frecuencia de 120, por ejemplo, ha sido calculada sumando las frecuencias de los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6: 15 + 3 + 7 + 19 + 27 + 26 + 23 = 120.
De la misma forma, hemos calculado: 15 + 17 + 8 + 14 + 5 + 3 + 1 = 63 y 2 + 1 + 1 = 4.
Los tres grupos de tiempo que hemos creado se denominan clases:
—la 1ª clase es “0 h a 6 h”, y contiene los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6;
—la 2ª clase es “7 h a 13 h”, y contiene los valores 7, 8, 9, 10, 11, 12 y 13;
—la 3ª clase es “14 h a 16 h”, y contiene los valores 14, 15 y 16.
Ver también artículo Estadística.

Representación gráfica de una función lineal

Toda función lineal f(x) = ax es una relación de proporcionalidad.
¿Cómo representar una función lineal gráficamente, es decir, cómo representar una relación de proporcionalidad en una gráfica?

I. Representar gráficamente una función lineal

1. Un ejemplo
Representemos gráficamente la función lineal f(x) = 2x.
Para ello, sobre un sistema de coordenadas cartesianas Oxy, tomamos un valor cualquiera x sobre el eje de abscisas y hallamos el correspondiente valor de la ordenada y para obtener las dos coordenadas del punto correspondiente.
Así, si x = 1, tenemos f(1)= 2, de donde obtenemos el punto de coordenadas (1, 2).
Tomamos algunos valores aleatorios de x y hallamos los correspondientes valores de y.
Para ello, resulta cómodo usar una tabla como la siguiente:

Representando estos puntos, obtenemos la gráfica mostrada en la figura 1.

Vemos que los puntos A, B, C y D pertenecen a la recta que pasa por el origen.
De hecho, todos los puntos que obtengamos para esta función están situados sobre esa
recta, que es la representación gráfica de la función lineal f(x) = 2x.
2. Propiedades
La representación gráfica de una función lineal f(x) = ax es una recta que pasa por el origen.
La representación gráfica de una función lineal f(x) = ax es la recta de ecuación y = ax.
Al coeficiente a de la función lineal se le llama pendiente de la recta.
Ejemplo: la representación gráfica de la función lineal f(x) = 3x es la recta de ecuación y = 3x. Para dibujar esta recta, tomamos valores aleatorios de x, hallamos sus correspondientesvalores de y, y situamos los puntos (x, y) obtenidos.
Nota: la representación gráfica de una función lineal pasa siempre por el origen, ya que la ordenada y correspondiente a x = 0 de cualquier función lineal es 0, resultando el punto de coordenadas (0, 0), es decir, el origen.
3. Ejemplos de aplicación
Sabemos que la representación gráfica de cualquier función lineal f(x) = ax es una recta que pasa por el origen. Esto significa que, para dibujar esa recta, solo tenemos que hallar otro cualquiera de sus puntos diferente del origen.
Ejemplo 1: queremos representar gráficamente la función lineal f(x) = -3x.
Hallamos un punto dándole un valor cualquiera a la x. Por ejemplo, si x = 1 tenemos que f(1) = -3, lo que nos da el punto A(1, –3).
La gráfica es la recta que pasa por A y por el origen.

Ejemplo 2: queremos representar gráficamente la función lineal , y a continuación hallar los valores de y correspondientes a x = –4 y a x = 6, valores de y que leeremos sobre la gráfica.
Para dibujar esta recta tomemos x = 4. Obtenemos ; es decir, f(4) = 2, que nos da el punto B(4, 2). Trazamos la recta que pasa por este punto y por el origen.
Para hallar sobre la gráfica el valor de y correspondiente a x = – 4, buscamos el punto en el que la línea vertical discontinua trazada sobre el valor –4 del eje x corta a la recta, y leemos el valor de y que resulta. Obtenemos f(–4) = –2.
De igual manera procedemos para obtener el valor de y que corresponde a x = 6, obteniendo f(6) = 3.

II. Interpretar la pendiente en una gráfica
Representemos en una misma gráfica las cuatro funciones lineales siguientes:
f(x) = –4x; ; f(x) = 0,2x; f(x) = 3x.
Llamemos D1 a la recta que representa la función f(x) = –4x. Si x = 1, obtenemos f(1) = –4, lo que nos da el punto A(1, –4) sobre D1.
Llamemos D2 a la recta que representa la función . Si x = –4, obtenemos f(–4) = 2, lo que nos da el punto B(–4, 2) sobre D2.
Llamemos D3 a la recta que representa la función f(x) = 0,2x. Si x = 5, obtenemos f(5) = 1, lo que nos da el punto C(5, 1) sobre D3.
Llamemos D4 a la recta que representa la función f(x) = 3x. Si x = 2, obtenemos f(2) = 6, lo que nos da el punto D(2, 6) sobre D4.
Obtenemos esta representación:

Las pendientes de las cuatro rectas son: –4 para la recta D1,para la recta D2, 0,2 para la recta D3 y 3 para la recta D4.
Observando esta gráfica, podemos decir que:
—D1 y D2, que tienen pendiente negativa, son rectas que descienden según aumenta x, mientras que D3 y D4, que tienen pendiente positiva, ascienden según aumenta x.
—D1 está más inclinada que D2 (la pendiente de D1 (-4) es menor que la de D2 ); de forma similar, D4 está más inclinada que D3 (la pendiente de D4 (3) es mayor que la de D2 (0,2)).
Conclusión: la pendiente nos permite distinguir entre rectas “ascendentes” y “descendentes” según aumenta x, y comparar los grados de inclinación de rectas diferentes.

Interpretar una gráfica

¿Qué es una gráfica?

Una gráfica nos permite usar un dibujo para ilustrar datos. De tal manera que un diagrama de barras o uno de sectores son gráficas.
Una curva que nos muestra la evolución de la estatura de un niño de acuerdo a su edad, es también una gráfica.

I. Ejemplo 1



En la gráfica de la figura 1, la cual nos da la estatura de un niño en función de su edad, los años están representados en el eje horizontal (también llamado eje de abscisas o eje de las x) y la estatura aparece representada en el eje vertical (también conocido como eje de ordenadas o eje de las y).

Para localizar, por ejemplo, la estatura del niño a los tres años de edad, debemos encontrar el valor que toma la y en el punto en el que la abscisa (la x) es 3. El resultado es que el valor de la ordenada en el punto 3, es 100. Por tanto podemos decir que el niño medía 100 cm (1 metro) de estatura cuando tenía 3 años.

Si queremos averiguar a qué edad el niño había crecido hasta 1,4 m de estatura, deberemos localizar 140 cm en el eje vertical y leer en el eje de abscisas el valor que toma x para el punto de la curva donde la ordenada y vale 140. Aquí se puede apreciar que fue alrededor de los ocho años y medio cuando el crecimiento del niño llegó hasta los 1,4 m.
II. Ejemplo 2

La gráfica de la figura 3 representa la distancia recorrida por un estudiante yendo al colegio en bicicleta, teniendo en cuenta el tiempo empleado.
Si observamos los puntos numerados de la gráfica, podemos observar que:
—punto 1: a las 7 h 30 min, el niño sale;
—puntos 1 al 2: el niño recorre un kilómetro en diez minutos (desde las 7 h 30 min hasta las 7 h 40 min);
—puntos 2 al 3: el niño para durante cinco minutos, justo cuando se encuentra a un kilómetro de distancia desde el punto de salida (desde las 7 h 40 min hasta las 7 h 45min);
—puntos 3 al 4: el niño parte de nuevo y cubre un kilómetro (2 - 1 = 1) en cinco minutos (desde las 7 h 45 min hasta las 7 h 50 min);
—puntos 4 al 5: el niño acelera y recorre una distancia de dos kilómetros (4 - 2 = 2) en cinco minutos (desde las 7 h 50 min hasta las 7 h 55 min);
—puntos 5 al 6: a las 7 h 55 min él llega y permanece parado hasta las 8 h 0 min sin recorrer más kilómetros.

Representar un punto en los ejes de coordenadas

Los ejes de coordenadas consisten en dos rectas graduadas, perpendiculares entre sí y que se cruzan en un punto, llamado origen. El eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas, o de las “x”. El eje vertical recibe el nombre de eje de ordenadas, o de las “y”. Las coordenadas de un punto se representan mediante dos números entre paréntesis, separados mediante una coma, y esta estructura recibe el nombre de par ordenado:

—el primer número es la coordenada x del punto, es decir, el valor del punto en el eje de abscisas;
—el segundo número es la coordenada y del punto, es decir, el valor del punto en el eje de ordenadas. 
¿Cómo podemos representar en los ejes un punto cuyas coordenadas conocemos?

I. Primer ejemplo

Queremos representar el punto A cuyas coordenadas son (3, 2).
La abscisa es 3 y la ordenada es 2.
Primer paso: localizamos el valor 3 en el eje de abscisas y el valor 2 en el de ordenadas. Hay que tener en cuenta que en la parte derecha del eje de abscisas se representan los valores positivos y en la parte izquierda los negativos. Igualmente, en la parte superior del eje de ordenadas se representan los valores positivos y en la inferior los negativos.

Segundo paso: dibujamos las líneas paralelas a los ejes que discurren como líneas de puntos, desde 3 y desde 2, tal como muestra la figura 2. El punto A es el punto donde se cruzan estas dos líneas.

II. Segundo ejemplo
Queremos representar el punto B cuyas coordenadas son (-4, -3).
La coordenada x, la abscisa, de B es -4 y la coordenada y, la ordenada, es -3.
Usando el mismo método que en el ejemplo anterior, obtenemos el punto dibujado en la figura 3.

III. Notas
Si la coordenada x de un punto, la abscisa, es 0, entonces el punto está en algún lugar del eje de ordenadas o de las “y”.
Si la coordenada y de un punto, la ordenada, es 0, entonces el punto está en algún lugar del eje de abscisas o de las “x”.
También podemos representar puntos cuyas coordenadas no sean valores enteros.
Ver también artículo Representar cualquier valor de una coordenada x sobre un eje.

Representar cualquier valor de una coordenada x sobre un eje

Podemos representar los números enteros sobre una recta graduada, a ambos lados del cero. ¿Cómo localizamos el punto que corresponde a un valor cualquiera de x sobre dicha recta?

I. Definir un eje

Un eje es una recta que podemos graduar, eligiendo un segmento unidad y dibujando sobre ella las marcas correspondientes a valores múltiplos de dicha unidad.
En general, se marca sobre el eje un punto de referencia, llamado origen, al que se le asigna el cero, y se toman como positivos los valores que quedan a su derecha y como negativos los que quedan a su izquierda (estos dos sentidos se suelen representar por dos cabezas de flecha sobre los extremos de la recta).
Se puede elegir sobre el eje la unidad de longitud que queramos o más nos convenga, pero la distancia entre cada par de marcas consecutivas ha de permanecer constante para todas ellas. Por ejemplo, en la figura 1, la unidad tomada es 1, mientras que en la figura 2 es , es decir, 0,1.


II. Dibujar el punto que corresponde a un valor de la coordenada x
La coordenada x de un punto situado sobre un eje es el número al que está asociado dicho punto; este número indica:
—el número de unidades que es necesario avanzar desde el origen para alcanzar el punto en cuestión;
—el sentido en que hemos de ir para llegar a él, es decir, hacia la derecha o hacia la izquierda.
1. Cuando está marcado el origen sobre el eje
Sea un eje en el que sí está señalado el origen. Si queremos representar el punto A de coordenada x = -3, solo hemos de contar tres unidades hacia la izquierda desde el cero, ya que en este caso la distancia entre cada dos marcas es igual a 1 (lo podemos comprobar observando las marcas correspondientes al 0 y al 1).

Si queremos representar el punto B de coordenada x = 2,7 la tarea es más complicada, porque será necesario dividir el segmento comprendido entre 2 y 3 en diez partes iguales y contar hasta la séptima, a partir de la marca del 2.

Notas:
—es imposible representar el punto C correspondiente al valor x = 3,64, ya que no podemos representar centésimas sobre el eje dado; solo podemos situarlo de forma aproximada: entre los puntos de coordenadas x = 3,6 y x = 3,7;
—para representar el punto de coordenada x = - 7, tendremos que alargar el eje, ya que el que hemos dibujado es corto, no llega a ese valor.
2. Cuando no está marcado el origen sobre el eje
No siempre está marcado el origen sobre el eje; a pesar de ello, a veces es posible representar un punto.
Sobre el eje de la figura 5 es posible situar el punto D de coordenada x = – 3,2, ya que entre cada dos marcas hay una distancia de , tal como muestran las coordenadas x = – 3,6 y x = – 3,5.

Por el contrario, no es posible situar el punto de coordenada x = 2 sobre dicho eje.
Ver también artículo Representar un punto en los ejes de coordenadas.

Funciones y cálculos con expresiones algebraicas

Una función que contiene un término en el que la variable está elevada al cuadrado, o una función que es cociente de dos funciones afines se puede pasar a su forma “canónica” y expresarla como la composición de varios operadores, determinando los intervalos en los que cada uno de estos operadores es creciente o decreciente.

I. Estudio de una función con una incógnita elevada al cuadrado
Si en una función la incógnita está elevada al cuadrado, la función se escribe en forma canónica: . Esta forma nos permite volver a escribir la función como la composición de una serie de operadores y hallar sus imágenes sucesivas.
Ejemplo:

Si f es el polinomio , lo podemos expresar como .
Buscamos ahora que dentro del paréntesis quede un cuadrado perfecto (el cuadrado de una suma). Para ello, desarrollamos:
.

Así pues, obtenemos: 
o 
por tanto, .
Comprobamos que la función f, definida en el intervalo [-5, 2] como , alcanza su valor mínimo f(x) = –3,5 cuando el paréntesis elevado al cuadrado es cero, lo que sucede para x = -1,5.
La tabla de variación es:


Completamos una tabla de valores para dibujar la curva:



II. Resolución de una ecuación o una inecuación con una incógnita elevada al cuadrado
Para resolver una ecuación que contiene un término con la incógnita elevada al cuadrado, la convertimos en una expresión de la forma . Puesto que al elevar al cuadrado dos números iguales pero con signos opuestos se obtiene el mismo resultado,
es equivalente a o .
Ejemplo:
La expresión equivale a x - 1 = 3, de donde x = 4, o a x - 1 = -3, de donde x = -2. El conjunto de soluciones es S = {-2, 4}.
Para resolver una inecuación que contiene un término con la incógnita elevada al cuadrado pasamos todos los términos a un miembro y, si es posible, factorizamos en producto de factores de primer grado.
Podemos entonces determinar el conjunto de soluciones usando una tabla de signos.
Ejemplo:
Para resolver hacemos .
Puesto que una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia, , tendremos: , que queda .

Usando una tabla de signos:


Vemos que el producto es negativo o cero en el intervalo [-2, 4], por tanto, S = [-2, 4].
III. Estudio de una función cociente de dos funciones afines
Si una función es igual al cociente de dos funciones afines, la escribimos en forma canónica como . Esta forma nos permite escribir la función como la composición de una serie de operadores y hallar sus imágenes sucesivas.
Ejemplo:
Si f es una función definida en [1,5, 6] como , podemos escribir
, es decir, .
La función f, definida en [1,5, 6] como , es decreciente en todo su intervalo de definición, ya que al descomponerla en operadores, , aparece la función inversa o recíproca, que es siempre decreciente.
Dibujamos la curva a partir de una tabla de valores:

IV. Resolución de una ecuación o una inecuación con la incógnita en el denominador
—En el caso de una ecuación, multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores.
Ejemplo:
Si , resolver la ecuación es equivalente a resolver .
Operando: , o , de donde x = 3.
El conjunto de soluciones es S = {3}.
—En el caso de una inecuación, pasamos todos los términos a un miembro y, si es posible, la expresamos como un cociente de factores de primer grado. A partir de ahí podemos deducir el conjunto de soluciones usando una tabla de signos.
Ejemplo:
Si , resolver la inecuación es equivalente a resolver .
Reduciendo a común denominador, obtenemos: , o .
Finalmente, usamos una tabla de signos:

El cociente es negativo o cero en el intervalo (0, 3], de forma que .
Recuerda
—La tabla de variación de una función con una incógnita elevada al cuadrado se construye a partir de la forma canónica . Si , el coeficiente del término elevado al cuadrado, es negativo, entonces es un máximo y se alcanza para . Si es positivo, entonces es un mínimo y también se alcanza para .
—La ecuación tiene dos soluciones: o .
—Para resolver una inecuación con la incógnita elevada al cuadrado, pasamos todos los términos a uno de los dos miembros de la inecuación. Descomponiendo la expresión resultante en factores de primer grado, podemos usar una tabla de signos para determinar el conjunto de soluciones.
—Para resolver una ecuación en la que la incógnita está en el denominador, multiplicamos en cruz, para eliminar los denominadores.
—Para resolver una inecuación con la incógnita en el denominador, pasamos todos los términos a un miembro. Expresando el numerador y el denominador como producto de factores de primer grado, podemos usar una tabla de signos para determinar el conjunto de soluciones. Tenemos que tener cuidado y excluir del conjunto de soluciones aquellos valores que anulan el denominador.