Sistema numérico

Sistema numérico

Signos matemáticos de la antigüedad

Sistema numérico, en matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base es el número de símbolos diferentes, o guarismos (véase Numeración), necesarios para representar un número cualquiera, de los infinitos posibles, en el sistema. Por ejemplo, el sistema decimal, utilizado hoy de forma universal (con la excepción de los ordenadores o computadoras), necesita diez símbolos diferentes o dígitos para representar un número y es, por tanto, un sistema numérico en base 10.

A lo largo de la historia se han usado multitud de sistemas numéricos. En realidad, cualquier número mayor que 1 puede ser utilizado como base. Algunas civilizaciones usaban sistemas basados en los números 3, 4 o 5. Los babilonios utilizaron el sistema sexagesimal, basado en el número 60, y los romanos (en cierta aplicaciones) el sistema duodecimal, con el número 12 como base. Los mayas utilizaban el sistema vigesimal, basado en el número 20. El sistema binario, o en base 2, fue usado por algunas tribus antiguas y junto con el sistema en base 16 se usa en la actualidad en los ordenadores o computadoras.

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VALORES POSICIONALES

Comparación entre el sistema decimal (base 10) y el binario (base 2)

Los ordenadores o computadoras normalmente procesan los números decimales en forma binaria. Por ejemplo, en el sistema decimal codificado en binario (BCD) cada uno de los dígitos decimales del 0 al 9 se codifica con 4 bits. Los cuadros de esta tabla son similares a los grupos de cuatro bits del BCD.

La posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos utilizados —0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9— depende de su posición en el número completo. Por ejemplo, el número 3.098.323 es la representación de (3 × 10⁶) + (0 × 10⁵) + (9 × 10⁴) + (8 × 10³) + (3 × 10²) + (2 × 10¹) + (3 × 10⁰, o 3 × 1). El primer 3 (empezando por la derecha) representa 3 unidades; el segundo, 300 unidades y el tercero, 3 millones de unidades.

Dos dígitos —0 y 1— son suficientes para representar un número en el sistema binario; 6 cifras —0, 1, 2, 3, 4 y 5— se necesitan para representar un número en el sistema sextil y 16 guarismos —0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (diez), B (once), C (doce) ... y F (quince)— son necesarios en el sistema hexadecimal. El número 30.155 en el sistema en base 6 es igual al número (3 × 6⁴) + (0 × 6³) + (1 × 6²) + (5 × 6¹) + (5 × 6⁰) = 3.959 en el sistema decimal. El número 2EF del sistema hexadecimal es el número (2 × 16²) + (14 × 16¹) + (15 × 16⁰) = 751 en el sistema decimal.

Para convertir un número n dado en base 10 a base b, se divide (en el sistema decimal) n por b, el cociente se divide de nuevo por b y así sucesivamente hasta que se obtenga un cociente cero. Los restos sucesivos de esta serie de divisiones son los dígitos que expresan n en base b (la base se suele escribir como un subíndice del número). A medida que la base sea mayor, se necesitan más guarismos, pero la representación de un número requiere menos dígitos.

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SISTEMA BINARIO

El sistema binario desempeña un importante papel en la tecnología de los ordenadores. Los primeros 20 números en el sistema en base 2 son 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001, 10010, 10011 y 10100. Cualquier número se puede representar en el sistema binario, como suma de varias potencias de dos. Por ejemplo, el número 10101101 representa, empezando por la derecha, (1 × 2⁰) + (0 × 2¹) + (1 × 2²) + (1 × 2³) + (0 × 2⁴) + (1 × 2⁵) + (0 × 2⁶) + (1 × 2⁷) = 173.

Las operaciones aritméticas con números en base 2 son muy sencillas. Las reglas básicas son: 1 + 1 = 10 y 1 × 1 = 1. El cero cumple las mismas propiedades que en el sistema decimal: 1 × 0 = 0 y 1 + 0 = 1. La adición, sustracción y multiplicación se realizan de manera similar a las del sistema decimal:

Puesto que sólo se necesitan dos dígitos (o bits), el sistema binario se utiliza en los ordenadores o computadoras. Un número binario cualquiera se puede representar, por ejemplo, con las distintas posiciones de una serie de interruptores. La posición 'encendido' corresponde al 1, y 'apagado' al 0. Además de interruptores, también se pueden utilizar puntos imantados en una cinta magnética o disco: un punto imantado representa al dígito 1, y la ausencia de un punto imantado es el dígito 0. Los biestables —dispositivos electrónicos con sólo dos posibles valores de voltaje a la salida y que pueden saltar de un estado al otro mediante una señal externa— también se pueden utilizar para representar números binarios. Los circuitos lógicos realizan operaciones con números en base 2. La conversión de números decimales a binarios para hacer cálculos, y de números binarios a decimales para su presentación, se realizan electrónicamente.