Número complejo

El invento de los Número complejo

Número complejo, expresión de la forma a + bi, en donde a y b son números reales e i es Á. Estos números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas. En física e ingeniería los números complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas. El número i aparece explícitamente en la ecuación de onda de Schrödinger que es fundamental en la teoría cuántica del átomo. El análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o el diseño de alas de avión.

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HISTORIA

Los números complejos aparecieron al buscar soluciones para ecuaciones como x² = -1. No existe ningún número real x cuyo cuadrado sea -1, por lo que los matemáticos de la antigüedad concluyeron que no tenía solución. Sin embargo, a mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como

El matemático suizo Leonhard Euler introdujo el moderno símbolo i para Á en 1777 y formuló la expresión

que relaciona cuatro de los números más importantes en matemáticas. El matemático alemán Carl F. Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. En 1825, continuando con el estudio de las funciones complejas, el matemático francés Augustin L. Cauchy generalizó el concepto de integrales definidas de funciones reales para funciones de variable compleja.

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PROPIEDADES

En un número complejo a + bi, a se conoce como la parte real y b como la parte imaginaria. El número complejo -2 + 3i tiene parte real -2 y parte imaginaria 3. La adición de números complejos se realiza sumando las partes reales e imaginarias por separado. Por ejemplo, para sumar 1 + 4i y 2 - 2i se suman las partes reales 1 y 2, y a continuación las partes imaginarias 4 y -2, dando el número complejo 3 + 2i. La regla general para la adición es (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

La multiplicación de números complejos se basa en que i · i = -1, y en asumir que esta operación es distributiva respecto de la adición. Esto genera la siguiente regla para la multiplicación: (a + bi)·(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Utilizando esta regla se tiene, por ejemplo, que (1 + 4i)·(2 - 2i) = 10 + 6i

Si z = a + bi es un número complejo cualquiera, el complejo conjugado de z es

y el valor absoluto o módulo de z es

Así, el conjugado de 1 + 4i es 1 - 4i y su módulo es

Una relación fundamental entre el valor absoluto y el complejo conjugado es que

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EL PLANO COMPLEJO

Figura 1: suma de dos números complejos

De la misma manera que los números reales se pueden representar como puntos de una línea, los números complejos se pueden representar como puntos de un plano. El número complejo a + bi es aquel punto del plano con coordenada x igual a la parte real a, y coordenada y igual a la parte imaginaria b. Los complejos 1 + 4i y 2 - 2i aparecen en la figura 1 y corresponden a los puntos (1,4) y (2,-2) del plano. En 1806, el matemático francés Jean-Robert Argand representó geométricamente los números complejos como puntos del plano, por lo que la figura 1 es conocida como diagrama de Argand. Si un número complejo se considera como un vector que une el origen y el punto correspondiente, la adición de números complejos es igual a la suma corriente de vectores. La figura 1 muestra el número complejo 3 + 2i obtenido al sumar los vectores 1 + 4i y 2 - 2i.

Figura 2: producto de dos números complejos

Dado que los puntos del plano se pueden definir en función de sus coordenadas polares r y θ (véase Sistema de coordenadas), todo número complejo z se puede escribir de la forma z = r (cos θ + i sen θ)donde r es el módulo de z o distancia del punto al origen y θ es el argumento de z o ángulo entre z y el eje de las x. Si z = r (cos θ + i sen θ) y w = s (cos φ + i sen φ) son dos números complejos en forma polar, entonces el producto (en forma polar) viene dado por zw = rs (cos(θ + φ) + isen(θ + φ))Este cálculo tiene una sencilla interpretación geométrica que se muestra en la figura 2.

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SOLUCIONES COMPLEJAS

Existen muchas ecuaciones polinómicas (véase Teoría de ecuaciones) que no tienen soluciones reales, como x² + 1 = 0Sin embargo, si se permite que x sea compleja, la ecuación tiene como soluciones x = ±i, donde i y -i son las raíces del polinomio x² + 1. La ecuación x² - 2x + 2 = 0tiene como soluciones x = 1 ± i. El gran logro de Gauss fue demostrar que todo polinomio no trivial (es decir, que tiene al menos una raíz distinta de cero) con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. De aquí se deduce que todo polinomio complejo de grado n tiene exactamente n raíces, no necesariamente distintas. Por tanto, todo polinomio complejo de grado n se puede escribir como producto de n factores lineales complejos.