Suma y resta de ángulos

Suma y resta de ángulos

Podemos sumar y restar ángulos gráficamente, dibujando los ángulos, y también numéricamente, operando con sus medidas. Si queremos ser precisos al representar los ángulos, hemos de dibujarlos con ayuda de un transportador, ya sabes… una plantilla semicircular graduada de 0° a 180°.

SUMA DE ÁNGULOS

Para sumar dos ángulos cualesquiera, y, dibujamos el segundo a continuación del primero, de forma que compartan el vértice, O, y uno de los lados, el OB y el OC en este caso. El ángulo suma será el resultante :

Si queremos sumar las medidas de sus amplitudes, hemos de seguir los siguientes pasos:

1. Escribimos un ángulo debajo del otro, de forma que queden alineadas las unidades del mismo orden (grados con grados, minutos con minutos, segundos con segundos).

2. Sumamos las unidades por separado, es decir, sumamos cada una de las tres columnas.

3. Revisamos si la suma de los segundos es o no mayor que 60. En caso de que sea menor, queda tal cual, y proseguimos con el paso 4. En el caso de que la suma sea mayor que 60, hemos de pasar de segundos a minutos, para lo cual:

·                     dividimos dicha suma entre 60,

·                     dejamos en segundos el resto de la división, y

·                     le sumamos el cociente a los minutos.

4. Revisamos si la suma de los minutos es mayor o no que 60. En caso de que no lo sea, queda tal cual, y hemos terminado la operación. En el caso de que sea mayor que 60, hemos de pasar de minutos a grados, para lo cual:

·                     dividimos la suma de minutos entre 60,

·                     dejamos en minutos el resto de la división, y

·                     le sumamos el cociente a los grados.

Por ejemplo, vamos a efectuar la suma: 33° 45’ 51’’ + 15° 22’ 24’’. Para ello, seguimos los pasos indicados.

1. Los colocamos alineados en columna:

2. Sumamos por separado cada una de las tres columnas:

3. Nos fijamos en los segundos, y como 75 > 60, convertimos a minutos:

El resto son 15’’, y el cociente se lo sumamos a los minutos: 67’ + 1’ = 68’.

4. Ahora nos fijamos en los minutos, y como 68 > 60, convertimos a grados:

El resto son 8’, y el cociente se lo sumamos a los grados: 48° + 1° = 49°.

Así pues, 33° 45’ 51’’ + 15º 22’ 24’’ = 49° 8’ 15’’

RESTA DE ÁNGULOS

Para restar dos ángulos cualesquiera, y , dibujamos el segundo superpuesto al primero, de forma que compartan el vértice, O, y uno de sus lados, el OA y el OC en este caso. El ángulo resta será el resultante:

Si queremos restar las medidas de sus amplitudes, seguimos los siguientes pasos:

1. Escribimos el segundo ángulo (sustraendo) debajo del primero (minuendo), de forma que queden alineadas las unidades del mismo orden.

2. Comprobamos que el número de grados del minuendo es mayor que el del sustraendo. Si no fuera así, la resta no se podría hacer.

3. Nos fijamos en la cantidad de segundos del minuendo y del sustraendo:

·                     si el minuendo es mayor que el sustraendo, efectuamos la resta;

·                     si el minuendo es menor que el sustraendo, convertimos uno de los minutos a segundos, con lo que ya sí se podría realizar la resta (pudiera ocurrir que tuviéramos que convertir más de 1 minuto a segundos).

4. Observamos la cantidad de minutos del minuendo y del sustraendo, y procedemos de forma similar que en el caso de los segundos.

5. Una vez efectuadas las restas de las tres columnas, revisamos si el número de segundos o el de minutos es mayor que 60, en cuyo caso tendríamos que dividir entre 60 para convertir en la unidad superior.

Por ejemplo, vamos a efectuar la resta: 21° 7’ 8’’ - 14° 30’ 26’’. Para ello, seguimos los pasos indicados.

1. Los colocamos alineados en columna:

2. Comprobamos que el número de grados del minuendo es mayor que el del sustraendo: 21 > 14, y por tanto la resta sí se puede realizar.

3. Observamos que no podemos restar los segundos, pues 8 < 26. Hemos de convertir uno de los siete minutos en segundos: 7’ = 6’ 60’’; por tanto,

21° 7’ 8’’  →  21° 6’ 68’’

Y ahora restamos los segundos:

4. Ahora nos fijamos en los minutos y vemos que no podemos restar, pues 6 < 30. Hemos de convertir uno de los veintiún grados en minutos: 21º = 20º 60’; por tanto,

21° 6’ 68’’  →  20° 66’ 68’’

Y restamos los minutos y los grados:

Así pues, 21° 7’ 8’’ - 14º 30’ 26’’ = 6° 36’ 42’’

Los triángulos

Los triángulos

Los triángulos son polígonos de tres lados; una señal de tráfico de ceda el paso, una vela de windsurf o de un velero, y algunos sandwiches tienen forma de triángulos. Pero no todos son iguales, hay distintas clases de triángulos.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Según sea la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en:

Equiláteros: tienen los tres lados iguales.
Isósceles: tienen dos lados iguales.
Escalenos: tienen los tres lados desiguales.

El que ves a continuación de color rojo es un triángulo equilátero, el de color azul es isósceles y el de color verde, escaleno:

También se pueden clasificar los triángulos según sean sus ángulos:

Acutángulos: si sus tres ángulos son agudos (< 90°).
Rectángulos: si uno de sus ángulos es recto (= 90°).
Obtusángulos: si uno de sus ángulos es obtuso (> 90°).

El de color rojo es un triángulo acutángulo, el de color azul es rectángulo y el de color verde, obtusángulo:

SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO

Los ángulos de cualquier triángulo suman entre los tres 180º. Si conocemos dos de ellos podemos calcular cuánto medirá el tercero. Por ejemplo:

En el primer triángulo: 60° + 70° += 180° 130° + = 180° = 180° – 130° = 50°

En el segundo triángulo: 90° ++ 50° = 180°+ 140° = 180° = 180° - 140° = 40°

En el tercer triángulo: + 80° + 30° = 180°+ 110° = 180° = 180° - 110° = 70°

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

En un triángulo, la base es uno cualquiera de sus lados y la altura es el segmento perpendicular a la base o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto al lado de la base.

Para calcular la fórmula del área de un triángulo cualquiera, nos fijamos en la siguiente figura:

Vamos a calcular el área del triángulo rojo. Si trazamos desde el vértice C un segmento paralelo al lado AB, y de su misma longitud, y desde el vértice B otro segmento paralelo al lado AC, y de su misma longitud, obtenemos un romboide, que tiene la misma base y la misma altura que el triángulo. Como el área del romboide es: Área del romboide = base × altura

Y el triángulo ocupa la mitad de la superficie del romboide, resulta que:

El área de un triángulo es igual a su base por su altura partido por dos.

Si quieres, puedes practicar hallando el área de estos triángulos:

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO CON REGLA Y COMPÁS

Si queremos dibujar un triángulo cuyos lados midan, por ejemplo, 6 cm, 5 cm y 4 cm, hemos de seguir estos pasos:

1. Escogemos el lado mayor de los tres, el de 6 cm, y trazamos con la regla un segmento de esa longitud. En sus extremos rotulamos los puntos A y B:

2. Ayudándonos de la regla, abrimos el compás de forma que entre una punta y la otra haya 5 cm. Sin cambiarlo de abertura, pinchamos sobre el extremo izquierdo del segmento y trazamos un arco de circunferencia:

3. Usando de nuevo la regla, abrimos el compás de forma que entre una punta y la otra haya 4 cm. Sin cambiarlo de abertura, pinchamos sobre el otro extremo, el derecho del segmento, y trazamos otro arco de circunferencia que cortará al anterior en un punto, que rotulamos como C:

4. Unimos los dos extremos del segmento con el punto de corte, C, y el triángulo queda dibujado:

Si intentas construir un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 3 cm y 2 cm comprobarás que los arcos trazados desde los dos extremos del segmento no se cortan: es imposible situar el punto C y por tanto no se puede dibujar el triángulo.

En cualquier triángulo debe cumplirse que cualquiera de sus lados ha de ser menor que la suma de los otros dos. En este último caso, 6 cm no es menor que 3 + 2 = 5 cm y, por tanto, el triángulo no se puede construir.

Funciones trigonométricas

Funciones trigonométricas

Seno (matemáticas)

Seno (matemáticas), una de las razones trigonométricas (véase Trigonometría).

En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo α, que se designa por sen α, es igual a la longitud del cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.

El seno de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica. Es la ordenada del punto en que el segundo lado del ángulo la corta:

La función y = sen x describe la variación del seno de ángulos medidos en radianes. Es continua y periódica de periodo 2p. Se denomina función sinusoidal.

El teorema del seno se aplica a los lados y ángulos de un triángulo cualquiera y relaciona cada dos lados con sus ángulos opuestos:

Coseno

Coseno, una de las razones trigonométricas (véase Trigonometría).

En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo agudo α, que se designa por cos α, es igual a la longitud del cateto adyacente al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.

El coseno de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica. Es la abscisa del punto en que el segundo lado del ángulo la corta:

La función y = cos x describe la variación del coseno de ángulos medidos en radianes.

El teorema del coseno se aplica a los lados y ángulos de triángulos cualesquiera y relaciona los tres lados con uno de los ángulos:

a² = b² + c² – 2bc·cos A
b² = a² + c² – 2ac·cos B
c² = a² + b² – 2ab·cos C

Secante

Secante, la razón trigonométrica inversa del coseno. Se designa sec (véase Trigonometría):

Los ángulos 90º y 270º no tienen secante puesto que cos 90º = 0 y cos 270º = 0.

Cosecante

Cosecante, la razón trigonométrica inversa del seno. Se designa cosec (véase Trigonometría):

Los ángulos 0º y 180º no tienen cosecante puesto que sen 0º = 0 y sen 180º = 0.

Tangente

Tangente, una de las razones trigonométricas (véase Trigonometría).

En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo α, que se designa por tg α, es igual a la longitud del cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud del cateto adyacente.

La tangente de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica, y se sitúa sobre la recta tangente a dicha circunferencia en el punto en que ésta corta a la parte positiva del eje X:

La tangente no existe para los ángulos de 90º y 270º.

La función y = tg x describe la variación de la tangente de ángulos medidos en radianes. Es continua, salvo en los puntos de abscisa (p/2) + kp, k entero, en donde no está definida. Es periódica de periodo p:

Cotangente

Cotangente, la razón trigonométrica inversa de la tangente. Se designa cot (véase Trigonometría):

Los ángulos 0º y 180º no tienen cotangente, puesto que tg 0º = 0 y tg 180º = 0. Para α = 90º y α = 270º, ángulos que no tienen tangente, el valor de la cotangente es 0.