Teoría de juegos

Teoría de juegos (matemáticas)

Teoría de juegos (matemáticas), análisis matemático de cualquier situación en la que aparezca un conflicto de intereses, con la intención de encontrar las opciones óptimas para que, en las circunstancias dadas, se consiga el resultado deseado. Aunque la teoría de juegos tiene sus orígenes en el estudio de conocidos pasatiempos como tres en raya, el ajedrez y el póquer —y de ahí su nombre— también incluye conflictos más serios que pueden aparecer en los campos de la sociología, la economía y la ciencia política y militar.

Ciertos aspectos de la teoría de juegos fueron estudiados por primera vez por el matemático francés Émile Borel, quien publicó varios artículos sobre los juegos de azar y la teoría de las partidas. Sin embargo, el matemático estadounidense de origen húngaro John von Neumann es considerado como el padre de la teoría de juegos. En una serie de artículos entre 1920 y 1930, estableció la estructura matemática de todos los desarrollos teóricos posteriores. Durante la II Guerra Mundial, los estrategas militares en los campos de la logística, la guerra submarina y la defensa aérea recurrieron a conceptos directamente relacionados con la teoría de juegos. A partir de entonces esta teoría evolucionó dentro del campo de las ciencias sociales. A pesar de sus aplicaciones empíricas, la teoría de juegos es esencialmente un producto de las matemáticas.

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CONCEPTOS FUNDAMENTALES

En la teoría de juegos, la palabra juego se refiere a un tipo especial de conflicto en el que toman parte n individuos o grupos (conocidos como los jugadores). Hay ciertas reglas del juego que dan las condiciones para que éste comience, las posibles jugadas legales durante las distintas fases del juego, el número total de jugadas que constituye una partida completa y los posibles resultados cuando la partida finaliza.

2.1

Jugada

Una jugada o movimiento es cómo progresa el juego de una fase a otra, comenzando con la posición inicial hasta el último movimiento. Las jugadas pueden ser alternativas entre los distintos jugadores de una manera determinada o pueden ser simultáneas, y son el producto de una decisión personal o del azar; en este segundo caso, un cierto objeto como un dado, una tarjeta con instrucciones o una ruleta genera una determinada jugada, cuya probabilidad se puede calcular.

2.2

Ganancia

La ganancia o resultado, designa lo que sucede cuando una partida termina. En algunos juegos, como el ajedrez o las damas, el resultado puede ser tan sencillo como declarar un ganador o un perdedor. En el póquer y otros juegos con apuestas, la ganancia suele ser dinero, cuya cantidad viene determinada por el dinero que cada jugador apuesta y por el número de veces que un cierto jugador gana durante el curso de la partida.

2.3

Formas normal y extensa

Una de las diferencias más importantes al estudiar los juegos es que estén dados en forma normal o extensa. Se dice que un juego está en su forma extensa si es definido por un conjunto de reglas que fijan las posibles jugadas en todo momento, incluyendo qué jugador tiene que mover, la probabilidad de cada opción si las jugadas se han de hacer de forma aleatoria y el conjunto de resultados finales que relaciona una ganancia o resultado particular con cada una de las posibles maneras de terminar el juego. Además se asume que cada jugador tiene un conjunto de preferencias para cada jugada, en anticipación de los posibles resultados, para procurarse la máxima ganancia o las mínimas pérdidas. Un juego en su forma extensa contiene, no sólo una lista de reglas que controlan la actividad de cada jugador, sino también la pauta de preferencias de cada uno de ellos. Algunos ejemplos son juegos muy conocidos como las damas, tres en raya y cualquier juego de azar con cartas o fichas como el gin rummy, el tute que se juega con baraja española, y el dominó.

Debido a la enorme cantidad de estrategias que aparecen incluso en el más sencillo de los juegos en forma extensa, la teoría de juegos utiliza las llamadas formas normalizadas de los juegos con las que se pueden llevar a cabo cálculos completos. Se dice que un juego está en su forma normal si la lista de todas las posibles ganancias o resultados de cada jugador, con todas las posibles combinaciones de estrategias, viene dada para cualquier secuencia de decisiones en el juego. Este tipo teórico de juego podría ser jugado por cualquier observador neutral y no depende de la elección de estrategia por parte del jugador.

2.4

Información completa

Se dice que en un juego se tiene toda la información si cada uno de los jugadores que toma parte conoce todas las posibles jugadas. Las damas y el ajedrez son dos juegos que ofrecen total información, mientras que el póquer, el bridge y el mus son juegos donde los jugadores sólo disponen de parte de la información.

2.5

Estrategia

Una estrategia es la lista de opciones óptimas para cada jugador en cualquier momento del juego. Una estrategia, teniendo en cuenta todas las posibles jugadas, es un plan que no se puede alterar, pase lo que pase en la partida.

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TIPOS DE JUEGOS

La teoría de juegos distingue varios tipos de juegos, según el número de jugadores y las circunstancias del juego.

3.1

Juegos individuales

Los juegos como los solitarios son juegos individuales donde no existe realmente un conflicto de intereses. El único interés que interviene es el del propio jugador. En los solitarios, sólo entra en juego el azar al barajar y al repartir las cartas. Los juegos individuales, aunque pueden ser complicados e interesantes desde el punto de vista de la probabilidad, no lo son desde la perspectiva de la teoría de juegos, pues no hay adversario que tome decisiones estratégicas independientes que el jugador deba combatir.

3.2

Juegos de dos jugadores

Los juegos de dos jugadores, o duales, incluyen la mayor parte de los juegos más conocidos, como el ajedrez, las damas o juegos con dos parejas como el bridge y el dominó. Los juegos con dos jugadores han sido estudiados ampliamente. La mayor dificultad para extender los resultados de la teoría con dos jugadores a n jugadores es predecir las relaciones entre los diversos jugadores. En casi todos los juegos para dos personas, las decisiones y posibles resultados son bastante bien conocidos. Sin embargo, cuando hay tres o más jugadores, aparecen interesantes, aunque complicadas, oportunidades de coalición, cooperación y confabulación.

3.3

Juegos de suma nula

Se dice que un juego es de suma nula si el total de las ganancias al final de la partida es cero; es decir, si el total de las ganancias es igual al total de las pérdidas. En el campo de la economía, los juegos de suma nula se refieren a la no existencia de producción o destrucción de bienes durante el 'juego económico'. En 1944 von Neumann y Oskar Morgenstern demostraron que un juego cualquiera con n jugadores y suma no nula se puede reducir a un juego con n + 1 jugadores y suma nula. Además, estos juegos con n + 1 jugadores se pueden generalizar a partir del caso particular de dos jugadores con suma nula. Por esta razón, estos últimos juegos son el principal objeto de estudio de la teoría matemática de los juegos. Uno de los más importantes teoremas en este campo establece que los diversos aspectos de la estrategia máximo-mínimo (estrategia que consiste en beneficiar más al jugador con más desventaja) se cumplen para todos los juegos de dos jugadores con suma cero. Conocido como el teorema minimax, fue demostrado por primera vez en 1928 por von Neumann; después se ha demostrado en términos generales utilizando diversos métodos.

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APLICACIONES

Las aplicaciones de la teoría de juegos son muy variadas y han dado lugar a un continuo incremento del interés por su estudio. Von Neumann y Morgenstern mostraron la utilidad inmediata de su teoría de juegos matemáticos al emplearla para estudiar el comportamiento de la economía. Se pueden construir modelos que representan a los mercados financieros con diferentes números de compradores y vendedores, fluctuación de los valores de la oferta y la demanda, variaciones cíclicas o estacionales, además de diferencias estructurales que dependerán de la economía estudiada. En este campo, la teoría de juegos es especialmente útil para analizar los conflictos de interés entre obtener mayores beneficios e incrementar la distribución de bienes y servicios. La división equitativa de propiedades y herencias es otro ámbito de interés legal y económico que puede estudiarse con las técnicas de la teoría de juegos.

En las ciencias sociales, la teoría de juegos con n jugadores tiene importantes aplicaciones, como por ejemplo la distribución de poder en los trámites legislativos. También se pueden estudiar los problemas de gobierno en mayoría y de toma de decisión individual.

Los sociólogos han desarrollado toda una rama de la teoría de juegos para estudiar los problemas que aparecen en la toma de decisiones en grupos. En epidemiología también se utiliza la teoría de juegos, especialmente con respecto a operaciones de inmunización y métodos de prueba de vacunas y otros medicamentos. Los estrategas militares usan la teoría de juegos para estudiar conflictos de interés, aunque el uso de esta teoría para analizar acontecimientos políticos o militares ha sido criticado como inhumano y potencialmente peligroso por simplificar lo que en realidad son factores muy complicados.

Cuerpo negro

Cuerpo negro

Distribución de energía radiada por un cuerpo negro

La gráfica representa la distribución de la energía (línea roja) radiada por un cuerpo negro para varias longitudes de onda. Para las longitudes de onda más cortas, la energía aumenta a medida que aumenta la temperatura.

Cuerpo negro, en física teórica, un objeto ideal que absorbe toda la radiación que llega a su superficie sin reflejar ninguna ni emitir radiación propia. No se conoce ningún objeto así, aunque una superficie de negro de carbono puede llegar a absorber aproximadamente un 97% de la radiación incidente. En teoría, un cuerpo negro sería también un emisor perfecto de radiación, y emitiría a cualquier temperatura la máxima cantidad de energía disponible. A una temperatura dada, emitiría una cantidad definida de energía en cada longitud de onda. A raíz del fracaso de los intentos de calcular la radiación de un cuerpo negro ideal según la física clásica, se desarrollaron por primera vez los conceptos básicos de la teoría cuántica.

Constante de Planck

Constante de Planck

Constante de Planck, constante física fundamental simbolizada por la letra h. Su existencia fue descubierta en 1900 por el físico alemán Max Planck. Hasta entonces se creía que todas las formas de radiación electromagnética estaban constituidas por ondas. Planck observó ciertas desviaciones de la teoría ondulatoria en el caso de las radiaciones emitidas por los llamados cuerpos negros, que absorben y emiten radiación de forma perfecta. Planck llegó a la conclusión de que la radiación electromagnética se emite en unidades discretas de energía, llamadas cuantos. Esta conclusión fue el primer enunciado de la teoría cuántica. Según Planck, la energía de un cuanto de luz es igual a la frecuencia de la luz multiplicada por una constante. Desde entonces, la teoría de Planck ha sido verificada experimentalmente en muchas ocasiones, y el desarrollo de la teoría cuántica ha producido un cambio radical en el concepto que se tiene en física de la luz y de la materia; en la actualidad, se considera que ambas combinan las propiedades de una onda y de una partícula. Así, la constante de Planck se ha vuelto tan importante para la investigación de las partículas de materia como para los cuantos de luz, ahora denominados fotones. La primera medida fiable de la constante de Planck (1916) se debió al físico estadounidense Robert Millikan. El valor actualmente aceptado es h = 6,626 × 10^-34 julios·segundo.

Fuerzas fundamentales

Fuerzas fundamentales

Fuerzas fundamentales

Las cuatro fuerzas fundamentales (gravitatoria, nuclear débil, electromagnética y nuclear fuerte) mantienen unidas las partículas y las hacen interaccionar, dando forma a la materia y al Universo. Cada una de ellas es transmitida por unas partículas muy especiales llamadas bosones. La fuerza gravitatoria es la más débil de las fuerzas fundamentales; es transmitida por el gravitón (partícula cuya existencia todavía no ha sido confirmada experimentalmente) y está ligada a la masa de los cuerpos. La fuerza más intensa es la nuclear fuerte, transmitida por el gluón, que actúa en el interior del núcleo, entre los quarks que forman protones y neutrones. De intensidad intermedia son la fuerza electromagnética, que une los electrones a los núcleos en átomos y moléculas, y la fuerza nuclear débil, responsable de las desintegraciones radiactivas y de algunas reacciones nucleares que tienen lugar en el interior de las estrellas. Estas dos fuerzas, como demostraron Abdus Salam, Steven Weinberg y Sheldon Lee Glashow (premios Nobel de Física en 1979), son dos manifestaciones diferentes del mismo tipo de interacción: la fuerza electrodébil.

Fuerzas fundamentales, aquellas fuerzas del Universo que no se pueden explicar en función de otras más básicas. Las fuerzas o interacciones fundamentales conocidas hasta ahora son cuatro: gravitatoria, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil.

La gravitatoria es la fuerza de atracción que un trozo de materia ejerce sobre otro, y afecta a todos los cuerpos. Es una fuerza muy débil pero de alcance infinito.

La fuerza electromagnética afecta a los cuerpos eléctricamente cargados, y es la fuerza involucrada en las transformaciones físicas y químicas de átomos y moléculas. Es mucho más intensa que la fuerza gravitatoria y su alcance es infinito.

La fuerza o interacción nuclear fuerte es la que mantiene unidos los componentes de los núcleos atómicos, y actúa indistintamente entre dos nucleones cualesquiera, protones o neutrones. Su alcance es del orden de las dimensiones nucleares (10^-15 m), pero es más intensa que la fuerza electromagnética.

La fuerza o interacción nuclear débil es la responsable de la desintegración beta de los neutrones (véase Física nuclear); los neutrinos son sensibles únicamente a este tipo de interacción. Su intensidad es menor que la de la fuerza electromagnética y su alcance es aún menor que el de la interacción nuclear fuerte (10^-18 m).

Todo lo que sucede en el Universo es debido a la actuación de una o varias de estas fuerzas que se diferencian unas de otras porque cada una implica el intercambio de un tipo diferente de partícula, denominada partícula de intercambio o intermediaria. Todas las partículas de intercambio son bosones, mientras que las partículas origen de la interacción son fermiones (véase Partículas elementales; Átomo).

En la actualidad, los científicos intentan demostrar que todas estas interacciones, aparentemente diferentes, son manifestaciones, en circunstancias distintas, de un modo único de interacción. El término ‘teoría del campo unificado‘ engloba a las nuevas teorías en las que dos o más de las cuatro fuerzas fundamentales aparecen como si fueran básicamente idénticas. La teoría de la gran unificación intenta unir en un único marco teórico las interacciones nuclear fuerte y nuclear débil, y la fuerza electromagnética. Esta teoría de campo unificado se halla todavía en proceso de ser comprobada. La teoría del todo es otra teoría de campo unificado que pretende proporcionar una descripción unificada de las cuatro fuerzas fundamentales. Hoy, la mejor candidata a convertirse en una teoría del todo es la teoría de supercuerdas.

Teoría de gauge

Teoría de gauge

Teoría de gauge, expresión utilizada para definir el conjunto de las teorías cuánticas de los campos relativistas que tienen la propiedad de ser invariantes respecto a un determinado grupo de transformaciones del espacio y del tiempo (invariancia de gauge).

La primera teoría de gauge fue la electrodinámica cuántica, es decir, la teoría cuántica del campo electromagnético, formulada hacia finales de la década de 1920 por los físicos P. A. M. Dirac, W. Heisenberg y W. Pauli. Tras esta primera teoría surgieron la cromodinámica cuántica, la teoría cuántica de la interacción fuerte, expuesta en 1954 por C. N. Yang y R. L. Mills, y más tarde la teoría electrodébil, el modelo estándar y la teoría de la gran unificación. La invariancia de gauge, que es básicamente una propiedad de simetría, es importante en la medida en que implica siempre una ley de conservación. Por ejemplo, la invariancia propia de la electrodinámica cuántica implica el principio de conservación de la carga eléctrica, del mismo modo que la invariancia de la cromodinámica cuántica implica la conservación de una magnitud cuántica propia de los nucleones, denominada espín isotópico.

El principio de las teorías de gauge puede interpretarse como la generalización cuántica de la invariancia de gauge clásica, es decir, de la propiedad por la cual las características del campo electromagnético no varían si a los correspondientes potenciales —escalar y vectorial— se les añaden funciones arbitrarias oportunas. Esta indeterminación sobre los potenciales electromagnéticos es aprovechada posteriormente para imponer condiciones restrictivas que simplifican la solución de las ecuaciones de Maxwell (gauge de Lorentz).

Según las características del grupo en que se basa, una teoría de gauge puede ser abeliana o no abeliana. La electrodinámica cuántica es una teoría de gauge abeliana, ya que el grupo de transformaciones respecto al cual resulta invariante es abeliano, es decir, está constituido por elementos que cumplen la propiedad conmutativa. Las otras teorías de gauge, entre las que se encuentran la cromodinámica cuántica y la teoría electrodébil, no tienen las mismas propiedades. Una característica muy importante que vincula a todas las teorías de gauge, atañe a la posibilidad de resolver las denominadas dificultades de divergencia que afectan generalmente a las teorías cuánticas de los campos. Estas dificultades consisten en que el valor previsto por la teoría para determinadas magnitudes físicas resulta infinito. Mediante una compleja técnica matemática, denominada renormalización, es posible, en lo que se refiere a las teorías de gauge, superar estas dificultades formales (véase Partículas elementales).

Teoría de conjuntos

Teoría de conjuntos

Teoría de conjuntos

Estos diagramas muestran diversas formas de agrupar objetos, o elementos, de dos conjuntos. R es un subconjunto de S si todo elemento de R también pertenece a S (superior izquierda). Por ejemplo, los números impares R = {1,3,5,7,9} son un subconjunto del conjunto de números enteros S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. La unión de A y B es un conjunto formado por todos los elementos de A y todos los de B (superior derecha). Por ejemplo, si A = {2,3,4,5} y B = {4,5,6,7}, entonces A È B = {2,3,4,5,6,7}. La intersección de A y B son los elementos comunes a ambos (inferior izquierda). Por ejemplo, A Ç B = {4,5}. La diferencia de B menos A son los elementos de B que no pertenecen a A (inferior derecha). Por ejemplo, B - A = {6,7}.

Teoría de conjuntos, rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito.

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ALGUNAS DEFINICIONES

Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto: utilizando símbolos a e S representa que el elemento a pertenece o está contenido en el conjunto S, o lo que es lo mismo, el conjunto S contiene al elemento a. Un conjunto S está definido si dado un objeto a, se sabe con certeza que o a e S o a  S (esto es, a no pertenece a S).

Un conjunto se representa frecuentemente mediante llaves que contienen sus elementos, ya sea de forma explícita, escribiendo todos y cada uno de los elementos, o dando una fórmula, regla o proposición que los describa. Por ejemplo, S₁ = {2, 4}; S₂ = {2, 4, 6, ..., 2n, ...} = {todos los enteros pares}; S₃ = {x | x²- 6x + 11 ≥ 3}; S₄ = {todos los varones vivos llamados Juan}. S₃ se describe como el conjunto de todas las x tales que x²- 6x + 11 ≥ 3.

2.1

Subconjuntos y superconjuntos

Si todo elemento de un conjunto R pertenece también al conjunto S, R es un subconjunto de S, y S es un superconjunto de R; utilizando símbolos, R Ì S, o S É R. Todo conjunto es un subconjunto y un superconjunto de sí mismo. Si R Ì S, y al menos un elemento de S no pertenece a R, se dice que R es un subconjunto propio de S, y S es un superconjunto propio de R. Si R Ì S y S É R, es decir, todo elemento de un conjunto pertenece también al otro, entonces R y S son dos conjuntos iguales, lo que se escribe R = S. En los ejemplos del apartado anterior, S₁ es un subconjunto propio de S₂.

2.2

Unión e intersección

Si A y B son dos subconjuntos de un conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos forman otro subconjunto de S llamado unión de A y B, escrito A È B. Los elementos comunes a A y B forman un subconjunto de S denominado intersección de A y B, escrito A Ç B. Si A y B no tienen ningún elemento común, su intersección no tiene ningún elemento, y siendo conveniente representar esta intersección como otro conjunto, éste se denomina conjunto vacío o nulo y se representa con el símbolo Æ. Por ejemplo, si A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} y C = {10, 14, 16, 26}, entonces A È B = {2, 4, 6, 8, 10}, A È C = {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26}, A Ç B = {4, 6} y A Ç C = Æ.

2.3

Diferencia y complementario

El conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B se denomina conjunto diferencia entre A y B, escrito A - B (y a veces A\B). Así, siguiendo con el ejemplo anterior, A - B = {2}, B - A = {8, 10}. Si A es un subconjunto del conjunto l, el conjunto de los elementos que pertenecen a l pero no a A, es decir, l - A, se denomina conjunto complementario de A (con respecto a l), lo que se escribe l - A = A′ (que también puede aparecer como Ā, Ã o ~A).

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ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

Las siguientes propiedades, utilizando las definiciones del apartado anterior, se cumplen si A, B, C... son subconjuntos de un conjunto l:

1. A È B = B È A
2. A Ç B = B Ç A
3. (A È B) È C = A È (B È C)
4. (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
5. A È Æ = A
6. A Ç Æ = Æ
7. A È l = l
8. A Ç l = A
9. A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)
10. A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
11. A È A′ = l
12. A Ç A′ = Æ
13. (A È B)′ = A′ Ç B′
14. (A Ç B)′ = A′ È B′
15. A È A = A Ç A = A
16. (A′)′ = A
17. A - B = A Ç B′
18. (A - B) - C = A - (B È C)
19. Si A Ç B = Æ, entonces (A È B) - B = A
20. A - (B È C) = (A - B) Ç (A - C)

Éstas son las propiedades del álgebra de conjuntos, que es un caso particular del sistema algebraico conocido como álgebra de Boole.

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PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS

Si A y B son dos conjuntos, el conjunto de todos los posibles pares ordenados de elementos de la forma (a, b), donde a pertenece a A y b pertenece a B, se denomina producto cartesiano de A y B, que se escribe normalmente A × B. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {x, y, z}, entonces A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}. Y B × A = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (x, 2), (y, 2), (z, 2)}. En este caso, A ×  B≠ B × A, pues al ser pares ordenados, el par (1, x) es distinto del par (x, 1).

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CORRESPONDENCIA ENTRE CONJUNTOS

Los elementos del conjunto A = {1, 2, 3} se pueden relacionar o hacer corresponder mediante una correspondencia f con los del conjunto B = {x, y, z} de modo que a todo elemento de A le corresponda uno, ninguno o varios elementos de B. Por ejemplo:

Esto se puede expresar también así: f(1) = {x, z}, f(2) = Æ, f(3) = {z}. También se puede decir que f = {(1, x), (1, z), (3, z)}. Por tanto, una correspondencia entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A × B.

Cuando una correspondencia es tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo uno del segundo conjunto, entonces se llama aplicación.

Teoría cuántica

Teoría cuántica

Líneas espectrales del hidrógeno

Cuando un electrón pasa de un nivel de energía a otro, emite un fotón con una energía determinada. Estos fotones dan lugar a líneas de emisión en un espectroscopio. Las líneas de la serie de Lyman corresponden a transiciones al nivel de energía más bajo o fundamental. La serie de Balmer implica transiciones al segundo nivel. Esta serie incluye transiciones situadas en el espectro visible y asociadas cada una con un color diferente.

Teoría cuántica, teoría física basada en la utilización del concepto de unidad cuántica para describir las propiedades dinámicas de las partículas subatómicas y las interacciones entre la materia y la radiación. Las bases de la teoría fueron sentadas por el físico alemán Max Planck, que en 1900 postuló que la materia sólo puede emitir o absorber energía en pequeñas unidades discretas llamadas cuantos. Otra contribución fundamental al desarrollo de la teoría fue el principio de incertidumbre, formulado por el físico alemán Werner Heisenberg en 1927, y que afirma que no es posible especificar con exactitud simultáneamente la posición y el momento lineal de una partícula subatómica.

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INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

En los siglos XVIII y XIX, la mecánica newtoniana o clásica parecía proporcionar una descripción totalmente precisa de los movimientos de los cuerpos, como por ejemplo el movimiento planetario. Sin embargo, a finales del siglo XIX y principios del XX, ciertos resultados experimentales introdujeron dudas sobre si la teoría newtoniana era completa. Entre las nuevas observaciones figuraban las líneas que aparecen en los espectros luminosos emitidos por gases calentados o sometidos a descargas eléctricas. Según el modelo del átomo desarrollado a comienzos del siglo XX por el físico británico nacido en Nueva Zelanda Ernest Rutherford, en el que los electrones cargados negativamente giran en torno a un núcleo positivo, en órbitas dictadas por las leyes del movimiento de Newton, los científicos esperaban que los electrones emitieran luz en una amplia gama de frecuencias, y no en las estrechas bandas de frecuencia que forman las líneas de un espectro.

Otro enigma para los físicos era la coexistencia de dos teorías de la luz: la teoría corpuscular, que explica la luz como una corriente de partículas, y la teoría ondulatoria, que considera la luz como ondas electromagnéticas. Un tercer problema era la ausencia de una base molecular para la termodinámica. En su libro Principios elementales en mecánica estadística (1902), el físico estadounidense J. Willard Gibbs reconocía la imposibilidad de elaborar una teoría de acción molecular que englobara los fenómenos de la termodinámica, la radiación y la electricidad tal como se entendían entonces.

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INTRODUCCIÓN DEL CUANTO DE PLANCK

A principios del siglo XX, los físicos aún no reconocían claramente que éstas y otras dificultades de la física estaban relacionadas entre sí. El primer avance que llevó a la solución de aquellas dificultades fue la introducción por parte de Planck del concepto de cuanto, como resultado de los estudios de la radiación del cuerpo negro realizados por los físicos en los últimos años del siglo XIX (el término ‘cuerpo negro’ se refiere a un cuerpo o superficie ideal que absorbe toda la energía radiante sin reflejar ninguna). Un cuerpo a temperatura alta —al rojo vivo— emite la mayor parte de su radiación en las zonas de baja frecuencia (rojo e infrarrojo); un cuerpo a temperatura más alta —al rojo blanco— emite proporcionalmente más radiación en frecuencias más altas (amarillo, verde o azul). Durante la década de 1890, los físicos llevaron a cabo estudios cuantitativos detallados de esos fenómenos y expresaron sus resultados en una serie de curvas o gráficas. La teoría clásica, o precuántica, predecía un conjunto de curvas radicalmente diferentes de las observadas. Lo que hizo Planck fue diseñar una fórmula matemática que describiera las curvas reales con exactitud; después dedujo una hipótesis física que pudiera explicar la fórmula. Su hipótesis fue que la energía sólo es radiada en cuantos cuya energía es hu, donde u es la frecuencia de la radiación y h es el ‘cuanto de acción’, ahora conocido como constante de Planck.

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APORTACIONES DE EINSTEIN

Los siguientes avances importantes en la teoría cuántica se debieron a Albert Einstein, que empleó el concepto del cuanto introducido por Planck para explicar determinadas propiedades del efecto fotoeléctrico, un fenómeno experimental en el que una superficie metálica emite electrones cuando incide sobre ella una radiación.

Según la teoría clásica, la energía de los electrones emitidos —medida por la tensión eléctrica que generan— debería ser proporcional a la intensidad de la radiación. Sin embargo, se comprobó que esta energía era independiente de la intensidad —que sólo determinaba el número de electrones emitidos— y dependía exclusivamente de la frecuencia de la radiación. Cuanto mayor es la frecuencia de la radiación incidente, mayor es la energía de los electrones; por debajo de una determinada frecuencia crítica, no se emiten electrones. Einstein explicó estos fenómenos suponiendo que un único cuanto de energía radiante expulsa un único electrón del metal. La energía del cuanto es proporcional a la frecuencia, por lo que la energía del electrón depende de la frecuencia.

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EL ÁTOMO DE BOHR

En 1911, Rutherford estableció la existencia del núcleo atómico. A partir de los datos experimentales de la dispersión de partículas alfa por núcleos de átomos de oro, supuso que cada átomo está formado por un núcleo denso y con carga positiva, rodeado por electrones cargados negativamente que giran en torno al núcleo como los planetas alrededor del Sol. La teoría electromagnética clásica desarrollada por el físico británico James Clerk Maxwell predecía inequívocamente que un electrón que girara en torno a un núcleo radiaría continuamente energía electromagnética hasta perder toda su energía, y acabaría cayendo en el núcleo. Por tanto, según la teoría clásica, el átomo descrito por Rutherford sería inestable. Esta dificultad llevó al físico danés Niels Bohr a postular, en 1913, que la teoría clásica no es válida en el interior del átomo y que los electrones se desplazan en órbitas fijas. Cada cambio de órbita de un electrón corresponde a la absorción o emisión de un cuanto de radiación.

La aplicación de la teoría de Bohr a átomos con más de un electrón resultó difícil. Las ecuaciones matemáticas para el siguiente átomo más sencillo, el de helio, fueron resueltas durante la segunda y tercera década del siglo XX, pero los resultados no concordaban exactamente con los datos experimentales. Para átomos más complejos sólo pueden obtenerse soluciones aproximadas de las ecuaciones, y se ajustan sólo parcialmente a las observaciones.

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MECÁNICA ONDULATORIA

George P. Thomson

El físico británico George P. Thomson fue galardonado con el Premio Nobel de Física en 1937 por su descubrimiento de la difracción de los electrones por los cristales, probando así sus propiedades ondulatorias.

El físico francés Louis Victor de Broglie sugirió en 1924 que, puesto que las ondas electromagnéticas muestran algunas características corpusculares, las partículas también deberían presentar en algunos casos propiedades ondulatorias (véase Dualidad onda-corpúsculo). Esta predicción fue verificada experimentalmente pocos años después por los físicos estadounidenses Clinton Davisson y Lester Halbert Germer y el físico británico George Paget Thomson, quienes mostraron que un haz de electrones dispersado por un cristal da lugar a una figura de difracción característica de una onda. El concepto ondulatorio de las partículas llevó al físico austriaco Erwin Schrödinger a desarrollar una ‘ecuación de onda’ para describir las propiedades ondulatorias de una partícula y, más concretamente, el comportamiento ondulatorio del electrón en el átomo de hidrógeno.

Aunque esta ecuación diferencial era continua y proporcionaba soluciones para todos los puntos del espacio, las soluciones permitidas de la ecuación estaban restringidas por ciertas condiciones expresadas por ecuaciones matemáticas llamadas funciones propias o eigenfunciones (del alemán eigen, ‘propio’). Así, la ecuación de onda de Schrödinger sólo tenía determinadas soluciones discretas; estas soluciones eran expresiones matemáticas en las que los números cuánticos aparecían como parámetros (los números cuánticos son números enteros introducidos en la física de partículas para indicar las magnitudes de determinadas cantidades características de las partículas o sistemas). La ecuación de Schrödinger se resolvió para el átomo de hidrógeno y dio resultados que encajaban sustancialmente con la teoría cuántica anterior. Además, tenía solución para el átomo de helio, que la teoría anterior no había logrado explicar de forma adecuada, y también en este caso concordaba con los datos experimentales. Las soluciones de la ecuación de Schrödinger también indicaban que no podía haber dos electrones que tuvieran sus cuatro números cuánticos iguales, esto es, que estuvieran en el mismo estado energético. Esta regla, que ya había sido establecida empíricamente por Wolfgang Pauli en 1925, se conoce como principio de exclusión.

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MECÁNICA DE MATRICES

De forma simultánea con el desarrollo de la mecánica ondulatoria, Heisenberg desarrolló un análisis matemático diferente conocido como mecánica de matrices. La teoría de Heisenberg, elaborada en colaboración con los físicos alemanes Max Born y Ernst Pascual Jordan, no empleaba una ecuación diferencial, sino una matriz infinita formada por infinitas filas compuestas a su vez de un número infinito de cantidades (véase Teoría de Matrices y Álgebra Lineal). La mecánica de matrices introdujo las matrices infinitas para representar la posición y el momento lineal en el interior de un átomo. Existen otras matrices, una para cada una de las restantes propiedades físicas observables asociadas con el movimiento de un electrón, como la energía o el momento angular. Estas matrices, igual que las ecuaciones diferenciales de Schrödinger, podían resolverse; en otras palabras, podían manipularse para predecir las frecuencias de las líneas del espectro del hidrógeno y otras cantidades observables. Al igual que la mecánica ondulatoria, la mecánica de matrices coincidía con la teoría cuántica anterior en los procesos en que dicha teoría concordaba con los experimentos, y también explicaba fenómenos que la teoría anterior no podía explicar.

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SIGNIFICADO DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

Posteriormente, Schrödinger demostró que la mecánica ondulatoria y la mecánica de matrices son versiones matemáticas diferentes de una misma teoría, hoy denominada mecánica cuántica. Incluso en el caso del átomo de hidrógeno, formado por sólo dos partículas, ambas interpretaciones matemáticas son muy complejas. El siguiente átomo más sencillo, el de helio, tiene tres partículas, e incluso en el sistema matemático relativamente sencillo de la dinámica clásica, el problema de los tres cuerpos (la descripción de las interacciones mutuas de tres cuerpos distintos) no se puede resolver por completo. Sin embargo, sí es posible calcular los niveles de energía. Al aplicar la matemática mecanocuántica a situaciones complejas, los físicos pueden emplear alguna de las muchas formulaciones matemáticas. La elección depende de la conveniencia de la formulación para obtener soluciones aproximadas apropiadas.

Aunque la mecánica cuántica describe el átomo exclusivamente a través de interpretaciones matemáticas de los fenómenos observados, puede decirse a grandes rasgos que en la actualidad se considera que el átomo está formado por un núcleo rodeado por una serie de ondas estacionarias; estas ondas tienen máximos en puntos determinados, y cada onda estacionaria representa una órbita. El cuadrado de la amplitud de la onda en cada punto en un momento dado es una medida de la probabilidad de que un electrón se encuentre allí. Ya no puede decirse que un electrón esté en un punto determinado en un momento dado.

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EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

La imposibilidad de determinar exactamente la posición de un electrón en un instante determinado fue analizada por Heisenberg, que en 1927 formuló el principio de incertidumbre. Este principio afirma que es imposible especificar con exactitud y al mismo tiempo la posición y el momento lineal de una partícula. En otras palabras, los físicos no pueden medir la posición de una partícula sin causar una perturbación en la velocidad de dicha partícula. Se dice que el conocimiento de la posición y de la velocidad son complementarios, es decir, que no pueden ser precisos al mismo tiempo. Este principio también es fundamental en la visión de la mecánica cuántica que suele aceptarse en la actualidad: los caracteres ondulatorio y corpuscular de la radiación electromagnética pueden interpretarse como dos propiedades complementarias de la radiación.

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RESULTADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

La mecánica cuántica resolvió todas las grandes dificultades que preocupaban a los físicos en los primeros años del siglo XX. Amplió gradualmente el conocimiento de la estructura de la materia y proporcionó una base teórica para la comprensión de la estructura atómica (véase Átomo) y del fenómeno de las líneas espectrales: cada línea espectral corresponde a la emisión o absorción de un cuanto de energía o fotón, cuando un electrón experimenta una transición entre dos niveles de energía. La comprensión de los enlaces químicos se vio radicalmente alterada por la mecánica cuántica y pasó a basarse en las ecuaciones de onda de Schrödinger. Los nuevos campos de la física —como la física del estado sólido, la física de la materia condensada, la superconductividad, la física nuclear o la física de partículas elementales— se han apoyado firmemente en la mecánica cuántica.

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AVANCES POSTERIORES

Desde 1925 no se han encontrado deficiencias fundamentales en la mecánica cuántica, aunque se ha debatido si la teoría debe o no considerarse completa (véase Desigualdad de Bell). En la década de 1930, la aplicación de la mecánica cuántica y la relatividad especial a la teoría del electrón (véase Electrodinámica cuántica) permitió al físico británico Paul Dirac formular una ecuación que implicaba la existencia del espín del electrón. También llevó a la predicción de la existencia del positrón, que fue comprobada experimentalmente por el físico estadounidense Carl David Anderson.

La aplicación de la mecánica cuántica al ámbito de la radiación electromagnética consiguió explicar numerosos fenómenos como la radiación de frenado (emitida por los electrones frenados por la materia) y la producción de pares (formación de un positrón y un electrón cuando la energía electromagnética interactúa con la materia). Sin embargo, también llevó a un grave problema, la denominada dificultad de divergencia: determinados parámetros, como las llamadas masa desnuda y carga desnuda de los electrones, parecen ser infinitos en las ecuaciones de Dirac (los términos ‘masa desnuda’ y ‘carga desnuda’ hacen referencia a electrones hipotéticos que no interactúan con ninguna materia ni radiación; en realidad, los electrones interactúan con su propio campo eléctrico). Esta dificultad fue parcialmente resuelta en 1947-1949 en el marco de un programa denominado renormalización, desarrollado por el físico japonés Shin’ichirō Tomonaga, los físicos estadounidenses Julian S. Schwinger y Richard Feynman y el físico estadounidense de origen británico Freeman Dyson. En este programa se toman la masa y carga desnudas del electrón como infinitas de modo que otras cantidades físicas infinitas se cancelen en las ecuaciones. La renormalización aumentó mucho la precisión en los cálculos de la estructura de los átomos a partir de los principios fundamentales.

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PERSPECTIVAS DE FUTURO

La mecánica cuántica está en la base de los intentos actuales de explicar la interacción nuclear fuerte (véase Cromodinámica cuántica) y desarrollar una teoría unificada para todas las fuerzas fundamentales de la materia (véase Física: Teoría del campo unificado). No obstante, existen dudas sobre si la mecánica cuántica es o no completa. La dificultad de divergencia, por ejemplo, sólo se ha resuelto en parte. Igual que la mecánica newtoniana fue corregida por la mecánica cuántica y la relatividad, muchos científicos —Einstein era uno de ellos— están convencidos de que la mecánica cuántica también experimentará cambios profundos en el futuro. Por ejemplo, existen grandes contradicciones teóricas entre la mecánica cuántica y la teoría del caos, que empezó a desarrollarse rápidamente en la década de 1980. Los físicos teóricos como el británico Stephen Hawking siguen haciendo esfuerzos para desarrollar un sistema que englobe tanto la relatividad como la mecánica cuántica.