Trazar las alturas de un triángulo y determinar su ortocentro

Hay tres alturas que pueden ser dibujadas en un triángulo.
¿Cuáles son las propiedades de estas rectas y qué es el ortocentro de un triángulo?

I. Las alturas de un triángulo
La altura de un triángulo es la recta que pasando por un vértice cae en perpendicular sobre el lado opuesto al vértice.



Construir la altura que pasa por el vértice A del triángulo significa construir una recta perpendicular al lado BC, que pase a través de A.
Notas:

—En la figura 1, al punto A' se le denomina base de la altura que sale de A.
—La palabra altura indica la línea que une el vértice con la base (el segmento AA' de la figura 1).
—La palabra altura también significa la longitud del segmento (longitud AA' de la figura 1). Este es el significado que se pretende dar cuando decimos que el área de un triángulo es igual a un medio del producto de la base por la altura.
—Existen tres alturas en un triángulo (tantas como número de ángulos).
—La altura que baja en perpendicular desde un ángulo, no siempre corta al lado opuesto de ese ángulo. Observa la figura 2.



II. El ortocentro de un triángulo
1. Propiedad
En un triángulo, las tres alturas son concurrentes. Su punto de intersección se denomina ortocentro del triángulo. En la figura 3, el punto H es el ortocentro del triángulo.



Nota: en la práctica, solo necesitamos trazar dos alturas para obtener el ortocentro de un triángulo.
2. Posición del ortocentro
El ortocentro no siempre está localizado en el interior del triángulo.

Podemos observar que:
—si los tres ángulos del triángulo son agudos, el ortocentro estará dentro del triángulo (primer caso).
—si el triángulo tiene un ángulo obtuso (mayor que un ángulo recto), el ortocentro estará fuera del triángulo -será exterior al triángulo- (segundo caso).
—si el triángulo es de tipo rectángulo, entonces el ortocentro estará situado en el vértice del ángulo recto (tercer caso).
Nota: dado el triángulo y teniendo su ortocentro en H, podemos observar que C es el ortocentro del triángulo . Por la misma razón, el ortocentro del triángulo sería el vértice A, y el ortocentro de sería B.

Construir un triángulo

Si tienes que construir un triángulo, necesitarás por lo menos tres datos para conseguirlo. Por ejemplo, las longitudes de los tres lados; la longitud
de dos lados y la amplitud de uno de sus ángulos; o la longitud de un lado y la amplitud de dos de sus ángulos. 

¿Cómo podemos construir un triángulo usando estos parámetros?

I. Método general
Construir un triángulo supone utilizar correctamente los instrumentos de dibujo (regla graduada, compás, transportador de ángulos, escuadra y cartabón).

Siempre comenzaremos trazando un lado de longitud dada; los dos extremos del lado serán dos de los vértices del triángulo que vayamos a dibujar. El tercer vértice lo calcularemos como punto de intersección de dos arcos, o de un arco y de una recta, o incluso de dos rectas.

II. Construir un triángulo
1. Conocemos tres lados
Queremos construir un triángulo tal que: AB = 4 cm, AC = 3,5 cm y BC = 2,5 cm.
En la figura 1 mostramos las etapas de su construcción.

2. Conocemos dos lados y un ángulo
Queremos construir un triángulo tal que: AB = 3 cm, AC = 4,8 cm y Â = 26°.
Las etapas de construcción se muestran en la figura 2.

3. Conocemos un lado y dos ángulos
Queremos construir un triángulo tal que: AB = 2,4 cm,  = 135° y = 25°.
En la figura 3 se muestran las etapas de construcción.

Construir diferentes polígonos regulares

¿Qué es un polígono regular? Tu primera respuesta quizá sea: un polígono donde todos sus lados tienen la misma longitud; sin embargo, también hay polígonos irregulares que tienen todos los lados de la misma longitud.

Entonces, ¿cuál es la definición de polígono regular? ¿Y qué propiedades podemos usar para construir pentágonos, hexágonos u octógonos regulares?

I. Definición
Un polígono regular es un polígono cuyos lados tienen todos la misma longitud y cuyos ángulos tienen todos la misma amplitud.
La figura 1 muestra cinco polígonos regulares.


Para todos los polígonos regulares hay una circunferencia que pasa por todos sus vértices. Esta circunferencia recibe el nombre de circunferencia circunscrita al polígono. El centro de esta circunferencia es el centro del polígono.

II. Ejemplos de construcción
1. Construir un pentágono a partir de su circunferencia circunscrita
Propiedad práctica: en un polígono regular con centro en O, todos los ángulos centrales formados por dos radios de la circunferencia circunscrita que se unen a dos vértices consecutivos del polígono, deben tener la misma amplitud. Si el polígono tiene n lados, este ángulo, medido en grados, es igual a .
Ejemplo: un pentágono tiene 5 lados, así que la medida de cada uno de sus ángulos centrales es: .
La figura 2 nos muestra las etapas en la construcción de un pentágono.



2. Construir un octógono a partir de la longitud de uno de sus lados
Propiedad práctica: A, B y C son tres vértices consecutivos de un polígono con centro en O. El ángulo del polígono y el ángulo central son suplementarios. Además, el segmento OB es la bisectriz del ángulo .
Observa esta propiedad en un cuadrado:

Ejemplo: Queremos construir un octógono regular con una longitud concreta para su lado, que llamaremos AB.
Un octógono tiene ocho lados, por lo que la amplitud de cada uno de sus ángulos centrales es: . Nos ayudaremos de las tres figuras siguientes para visualizar mejor la medida de los ángulos en un octógono.

Usando la propiedad anterior (180º = ángulo interior + ángulo central) podemos calcular lo que mide cada ángulo interior del octógono: 180° – 45° = 135°.

Podemos ver así que la mitad de cada ángulo interior es: .

Para construir ahora el octógono, comenzamos trazando el lado AB del octógono de la longitud que queramos, y a continuación construiremos un triángulo isósceles donde .
El punto O deberá ser el centro del octógono.
La figura 7 nos muestra los pasos a seguir en la construcción del octógono.

Nota: también podemos construir las sucesivas caras del octógono sin necesidad de usar la circunferencia circunscrita, ya que sabemos que cada ángulo interior del octógono mide 135º, pero este método de construcción nos llevaría mucho más tiempo.
3. Construir un hexágono regular usando el compás
Un hexágono tiene seis lados, de manera que cada ángulo central mide .
Por lo tanto, cada ángulo interior del hexágono mide 180° – 60° = 120°.
Y, en consecuencia, vemos que la mitad del ángulo correspondiente a cada vértice tiene una amplitud de: . En la figura 8 vemos las medidas de los ángulos en un hexágono regular.

De esta manera, podemos comprobar que los triángulos formados al unir el centro y dos vértices consecutivos, son equiláteros (es decir, el radio de la circunferencia circunscrita y el lado del hexágono miden lo mismo). Sabiendo esto, podemos construir un hexágono regular a partir de su circunferencia circunscrita: trasladando la longitud del radio seis veces a lo largo de la circunferencia.

Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales

Definimos los vectores a partir de traslaciones. Ya sabemos que las traslaciones se pueden definir usando paralelogramos. Por tanto, vectores y paralelogramos están relacionados. Pero, ¿cómo es esa relación?

I. Paralelogramos e igualdades vectoriales
1. Caracterizar un paralelogramo usando una igualdad vectorial
Si ABDC es un paralelogramo, entonces la traslación que transforma A en B también transforma C en D.
Además sabemos que si la traslación que transforma A en B también transforma C en D, entonces .
Estas dos propiedades nos permiten enunciar lo siguiente: si ABDC es un paralelogramo, entonces .

Recíprocamente, si , entonces ABDC es un paralelogramo.
Nota: el orden de los puntos C y D no es el mismo en el nombre del paralelogramo, ABDC, que en la igualdad vectorial, .
Caso especial: el paralelogramo ABDC se puede “aplanar”, lo que sucede cuando los puntos A, B, C y D están alineados.

En resumen: significa que ABDC es un paralelogramo (posiblemente aplanado).
2. Igualdades vectoriales obtenidas a partir de un paralelogramo
Sea un paralelogramo ABDC. A partir de él obtenemos la igualdad vectorial .

Pero este paralelogramo también podríamos nombrarlo así: ACDB, de donde obtendríamos la igualdad vectorial .

Si llamamos a este paralelogramo BACD, obtenemos la igualdad vectorial .

Si llamamos a este paralelogramo CABD, obtenemos la igualdad vectorial .

En resumen: un paralelogramo nos permite escribir cuatro igualdades vectoriales.
Consideremos las igualdades y . Los vectores tienen el mismo módulo y la misma dirección, aunque no el mismo sentido. Los llamamos vectores opuestos.
Cada igualdad de dos vectores nos permite escribir la igualdad de los vectores opuestos.
II. Igualdad vectorial y punto medio
En el apartado anterior hemos visto que si , entonces ABDC es un paralelogramo. Y sabemos que si un cuadrilátero ABDC es un paralelogramo, entonces sus diagonales AD y BC tienen el mismo punto medio. A partir de aquí podemos deducir la siguiente propiedad: si , entonces los segmentos AD y BC tienen el mismo punto medio.

Recíprocamente, si los segmentos AD y BC tienen el mismo punto medio, entonces ABDC es un paralelogramo y .