Aritmética, literalmente, arte de contar. La palabra deriva del griego arithmētikē, que combina dos palabras: arithmos, que significa ‘número’, y technē, que se refiere a un arte o habilidad.
Los números usados para contar son los naturales o enteros positivos. Se obtienen al añadir 1 al número anterior en una serie sin fin. Las distintas civilizaciones han desarrollado a lo largo de la historia diversos tipos de sistemas numéricos. Uno de los más comunes es el usado en las culturas modernas, donde los objetos se cuentan en grupos de 10. Se le denomina sistema en base 10 o decimal.
En el sistema en base 10, los enteros se representan mediante cifras cada una de las cuales representa potencias de 10. Tomemos el número 1.534 como ejemplo. Cada cifra de este número tiene su propio valor según el lugar que ocupa; estos valores son potencias de 10 crecientes hacia la izquierda. El valor de la primera cifra es en unidades (aquí 4 × 1); el de la segunda es 10 (aquí 3 × 10, o 30); el valor del tercer lugar es 10 × 10, o 100 (aquí 5 × 100, o 500), y el valor del cuarto lugar es 10 × 10 × 10, o 1.000 (aquí 1 × 1.000, o 1.000).
DEFINICIONES FUNDAMENTALES |
La aritmética se ocupa del modo en que los números se pueden combinar mediante adición, sustracción, multiplicación y división. Aquí la palabra número se refiere también a los números negativos, irracionales, algebraicos y fracciones. Las propiedades aritméticas de la suma y la multiplicación y la propiedad distributiva son las mismas que las del álgebra.
Adición |
La operación aritmética de la adición (suma) se indica con el signo más (+) y es una manera de contar utilizando incrementos mayores que 1. Por ejemplo, cuatro manzanas y cinco manzanas se pueden sumar poniéndolas juntas y contándolas a continuación de una en una hasta llegar a 9. La adición, sin embargo, hace posible calcular sumas más fácilmente. Las sumas más sencillas deben aprenderse de memoria. En aritmética, es posible sumar largas listas de números con más de una cifra si se aplican ciertas reglas que simplifican bastante la operación.
Sustracción |
La operación aritmética de la sustracción (resta) se indica con el signo menos (-) y es la operación opuesta, o inversa, de la adición. De nuevo, se podría restar 23 de 66 contando al revés 23 veces empezando por 66 o eliminando 23 objetos de una colección de 66, hasta encontrar el resto, 43. Sin embargo, las reglas de la aritmética para la sustracción nos ofrecen un método más sencillo para encontrar la solución.
Números negativos |
El cálculo de la sustracción aritmética no es difícil siempre que el sustraendo sea menor que el minuendo. Sin embargo, si el sustraendo es mayor que el minuendo, la única manera de encontrar un resultado para la resta es la introducción del concepto de números negativos.
La idea de los números negativos se comprende más fácilmente si primero se toman los números más familiares de la aritmética, los enteros positivos, y se colocan en una línea recta en orden creciente hacia el sentido positivo. Los números negativos se representan de la misma manera empezando desde 0 y creciendo en sentido contrario. La recta numérica que se muestra a continuación representa los números positivos y negativos:
Para poder trabajar adecuadamente con operaciones aritméticas que contengan números negativos, primero se ha de introducir el concepto del valor absoluto. Dado un número cualquiera, positivo o negativo, el valor absoluto de dicho número es su valor sin el signo. Así, el valor absoluto de +5 es 5, y el valor absoluto de -5 es también 5. En notación simbólica, el valor absoluto de un número cualquiera a se representa |a| y queda definido así: el valor absoluto de a es a si a es positivo, y el valor absoluto de a es -a si a es negativo.
Multiplicación |
La operación aritmética de la multiplicación se indica con el signo por (×). Algunas veces se utiliza un punto para indicar la multiplicación de dos o más números, y otras se utilizan paréntesis. Por ejemplo, 3 × 4, 3 · 4 y (3)(4) representan todos el producto de 3 por 4. La multiplicación es simplemente una suma repetida. La expresión 3 × 4 significa que 3 se ha de sumar consigo mismo 4 veces, o también que 4 se ha de sumar consigo mismo 3 veces. En ambos casos, la respuesta es la misma. Pero cuando se multiplican números con varias cifras estas sumas repetidas pueden ser bastante tediosas; sin embargo, la aritmética tiene procedimientos para simplificar estas operaciones.
División |
La operación aritmética de la división es la operación recíproca o inversa de la multiplicación. Usando como ejemplo 12 dividido entre 4, la división se indica con el signo de dividir (12:4), una línea horizontal (Ž) o una raya inclinada (12/4).
La división es la operación aritmética usada para determinar el número de veces que un número dado contiene a otro. Por ejemplo, 12 contiene a 4 tres veces; por eso 12 dividido entre 4 es 3, o Ž es 3.
La mayor parte de las divisiones se pueden calcular a simple vista, pero en muchos casos es más complicado y se necesita un procedimiento conocido como división larga.
TEORÍA DE LOS DIVISORES |
Antes de pasar a las fracciones, se deben mencionar algunos detalles sobre otras clases de números. Un número primo es cualquier entero positivo mayor que 1 y que sólo es divisible por sí mismo y por 1. Algunos ejemplos de números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... El único número primo par es el 2. Los enteros que no son primos se denominan compuestos, y todos se pueden expresar como producto de números primos.
Teorema fundamental de la aritmética |
“Todo entero mayor que 1 y que no sea un número primo es igual al producto de un y sólo un conjunto de números primos”. Este teorema fue demostrado por primera vez por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss. Dado un cierto número, por ejemplo 14, el teorema dice que se puede escribir de manera única como el producto de sus factores primos, en este caso 14 = 2 · 7. De la misma manera, 50 = 2 · 5 · 5 = 2 · 52. El menor múltiplo y el mayor divisor común a varios números se pueden calcular utilizando sus descomposiciones en factores primos.
Mínimo común múltiplo |
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor número que puede ser dividido exactamente por todos y cada uno de ellos. El m.c.m. contiene todos los factores primos que aparecen en cada uno de los números dados. Por ejemplo, para encontrar el m.c.m. de tres números 27, 63 y 75, primero se descomponen en factores: 27 = 33, 63 = 32 · 7, y 75 = 3 · 52. El m.c.m. debe contener los factores 33, 7 y 52; por tanto, 33 · 7 · 52 = 4.725 es el menor número que se puede dividir exactamente entre 27, 63 y 75.
Máximo común divisor |
El mayor divisor común a un conjunto dado de números es su máximo común divisor (M.C.D.). Por ejemplo, dados 9, 15 y 27, el M.C.D. es 3, que se encuentra fácilmente examinando la descomposición en factores de cada uno de los números: 9 = 32, 15 = 3 · 5, 27 = 33; el único factor que aparece en los tres números es 3.
FRACCIONES |
Los números que representan partes de un todo se denominan números racionales, fracciones o quebrados. En general, las fracciones se pueden expresar como el cociente de dos números enteros a y b:
Una fracción está en su forma reducida o canónica si el numerador y el denominador no tienen un factor común. Por ejemplo, › no está en su forma reducida pues ambos, 6 y 8, son divisibles por 2: › = (2·3)/ (2·4); sin embargo, • es una fracción en su forma canónica.
Existen dos tipos de fracciones, propias e impropias. Una fracción propia es aquella en la que el numerador es menor que el denominador; ’, -� y � son todas ellas fracciones propias. Una fracción impropia es aquella en que el numerador es mayor que el denominador; ”, -ž y œ son fracciones impropias. Las fracciones impropias se pueden convertir en números mixtos o en enteros (por ejemplo, ” = 1y -ž = -2, y œ = 2€) si se divide el numerador por el denominador y el resto se expresa como una fracción del denominador.
DECIMALES |
Este número se lee como: “cinco mil cuatrocientos veintiocho coma seiscientos treinta y dos”.
Recta real
Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales que pueden ser tan precisas como se desee sin más que tener en cuenta tantas cifras decimales como sea necesario. De este modo se establece una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de la recta (a cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa). El número real que corresponde a un cierto punto de la recta es su abscisa.
La recta real es la base de las coordenadas cartesianas y, por tanto, de la geometría analítica y de la representación gráfica de las funciones.
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