Los ángulos avanzado

Ángulo, porción de plano determinada por dos semirrectas con origen común.

Las semirrectas que lo forman se llaman lados del ángulo y el punto común, vértice. Lo que caracteriza a un ángulo es la apertura de sus lados. Si los lados de un ángulo α están más abiertos que los de otro β se dice que α es mayor que β.

Dos mismas semirrectas con origen común determinan dos ángulos distintos; el menor de ellos se llama ángulo convexo y el mayor, cóncavo:

El ángulo convexo no contiene en su interior a las semirrectas opuestas a sus lados, mientras que el ángulo cóncavo sí las contiene.

Si los dos lados del ángulo son semirrectas de la misma recta, el ángulo que forman se llama ángulo llano:

Se llama ángulo completo a aquel cuyos dos lados coinciden, y que está formado por todo el plano.

Los ángulos convexos son menores que un ángulo llano, mientras que los cóncavos son mayores que un llano.

Un ángulo recto es el ángulo convexo que tiene sus lados perpendiculares. Los ángulos convexos mayores que uno recto se llaman obtusos y los menores, agudos.

Dos ángulos se llaman consecutivos si tienen un lado y el vértice común y están en distintos semiplanos. En la figura, los ángulos aVb y bVc son consecutivos:

Transportar un ángulo es dibujar otro con la misma apertura que el primero y en el lugar que se desee. Para ello se puede utilizar el transportador de ángulos, que es una plantilla graduada con la que se pueden medir ángulos. También se puede transportar un ángulo aVb a otro lugar del plano con vértice V’ y lado a’ del siguiente modo:

Se abre el compás con un cierto radio y se trazan sendos arcos con centros en V y en V’. El primero determina dos puntos A y B en los lados de aVb. La distancia d, entre A y B, se lleva con el compás al segundo arco, determinando así el punto B’ por el que pasa el segundo lado b’ del ángulo a’V’b’.

Dos ángulos son iguales si al superponerlos (es decir, al transportar uno sobre otro) coinciden.

Para sumar dos ángulos se transporta uno de ellos situándolo consecutivo al otro. El ángulo formado por los lados exteriores es el ángulo suma:

Dos ángulos convexos se llaman opuestos por el vértice si sus lados son semirrectas opuestas:

Dos ángulos consecutivos cuyos lados exteriores son semirrectas opuestas se llaman adyacentes:

Al cortar dos rectas paralelas, r y s, por otra recta t se forman ocho ángulos entre los cuales se dan las siguientes relaciones de igualdad:

• Opuestos por el vértice:

• Correspondientes:

• Alternos internos:

• Alternos externos:

MEDIDA DE ÁNGULOS

Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad. La unidad de medida de ángulo más usual es el grado sexagesimal, que consiste en 1/360 del ángulo completo. La medida de un ángulo en grados sexagesimales se designa mediante el símbolo º. Por ejemplo, un ángulo de 56º.

Un ángulo recto tiene 90º. Los ángulos agudos tienen menos de 90º y los obtusos más de 90º, pero menos de 180º.

Si la medida de un ángulo es α, su complementario será 90º - α, y su suplementario 180º - α.

El grado sexagesimal tiene submúltiplos: el minuto, 1/60 de grado, y el segundo, 1/60 de minuto, es decir, 1/3.600 de grado. El minuto se designa ′ y el segundo ′′. De tal modo que la medida de un ángulo en grados, minutos y segundos sería, por ejemplo, 84º 17′ 43′′.

Hay otras unidades de medida de ángulo, como el grado centesimal y el radián.

El grado centesimal es una centésima de ángulo recto. Sus submúltiplos son el minuto centesimal (una centésima de grado) y el segundo centesimal (una centésima de segundo). Un ángulo dado en grados, minutos y segundos centesimales se expresaría así: 96g 34m 85s. Estas unidades de medida están prácticamente en desuso.

El radián (rad) es un ángulo que abarca un arco cuya longitud es igual al radio con el que ha sido trazado. Su relación con el grado sexagesimal es la siguiente: 180º = p rad. Es decir, 1 rad equivale aproximadamente a 57º 17′ 45′′. Esta unidad de medida de ángulos se utiliza en matemáticas avanzadas.

En el ejército se utiliza la milésima artillera, que es 1/1.600 de ángulo recto y, aproximadamente, una milésima de radián.

Aritmética

Aritmética, literalmente, arte de contar. La palabra deriva del griego arithmētikē, que combina dos palabras: arithmos, que significa ‘número’, y technē, que se refiere a un arte o habilidad.

Los números usados para contar son los naturales o enteros positivos. Se obtienen al añadir 1 al número anterior en una serie sin fin. Las distintas civilizaciones han desarrollado a lo largo de la historia diversos tipos de sistemas numéricos. Uno de los más comunes es el usado en las culturas modernas, donde los objetos se cuentan en grupos de 10. Se le denomina sistema en base 10 o decimal.

En el sistema en base 10, los enteros se representan mediante cifras cada una de las cuales representa potencias de 10. Tomemos el número 1.534 como ejemplo. Cada cifra de este número tiene su propio valor según el lugar que ocupa; estos valores son potencias de 10 crecientes hacia la izquierda. El valor de la primera cifra es en unidades (aquí 4 × 1); el de la segunda es 10 (aquí 3 × 10, o 30); el valor del tercer lugar es 10 × 10, o 100 (aquí 5 × 100, o 500), y el valor del cuarto lugar es 10 × 10 × 10, o 1.000 (aquí 1 × 1.000, o 1.000).

DEFINICIONES FUNDAMENTALES

La aritmética se ocupa del modo en que los números se pueden combinar mediante adición, sustracción, multiplicación y división. Aquí la palabra número se refiere también a los números negativos, irracionales, algebraicos y fracciones. Las propiedades aritméticas de la suma y la multiplicación y la propiedad distributiva son las mismas que las del álgebra.

Adición

La operación aritmética de la adición (suma) se indica con el signo más (+) y es una manera de contar utilizando incrementos mayores que 1. Por ejemplo, cuatro manzanas y cinco manzanas se pueden sumar poniéndolas juntas y contándolas a continuación de una en una hasta llegar a 9. La adición, sin embargo, hace posible calcular sumas más fácilmente. Las sumas más sencillas deben aprenderse de memoria. En aritmética, es posible sumar largas listas de números con más de una cifra si se aplican ciertas reglas que simplifican bastante la operación.

Sustracción

La operación aritmética de la sustracción (resta) se indica con el signo menos (-) y es la operación opuesta, o inversa, de la adición. De nuevo, se podría restar 23 de 66 contando al revés 23 veces empezando por 66 o eliminando 23 objetos de una colección de 66, hasta encontrar el resto, 43. Sin embargo, las reglas de la aritmética para la sustracción nos ofrecen un método más sencillo para encontrar la solución.

Números negativos

El cálculo de la sustracción aritmética no es difícil siempre que el sustraendo sea menor que el minuendo. Sin embargo, si el sustraendo es mayor que el minuendo, la única manera de encontrar un resultado para la resta es la introducción del concepto de números negativos.

La idea de los números negativos se comprende más fácilmente si primero se toman los números más familiares de la aritmética, los enteros positivos, y se colocan en una línea recta en orden creciente hacia el sentido positivo. Los números negativos se representan de la misma manera empezando desde 0 y creciendo en sentido contrario. La recta numérica que se muestra a continuación representa los números positivos y negativos:

Para poder trabajar adecuadamente con operaciones aritméticas que contengan números negativos, primero se ha de introducir el concepto del valor absoluto. Dado un número cualquiera, positivo o negativo, el valor absoluto de dicho número es su valor sin el signo. Así, el valor absoluto de +5 es 5, y el valor absoluto de -5 es también 5. En notación simbólica, el valor absoluto de un número cualquiera a se representa |a| y queda definido así: el valor absoluto de a es a si a es positivo, y el valor absoluto de a es -a si a es negativo.

Multiplicación

La operación aritmética de la multiplicación se indica con el signo por (×). Algunas veces se utiliza un punto para indicar la multiplicación de dos o más números, y otras se utilizan paréntesis. Por ejemplo, 3 × 4, 3 · 4 y (3)(4) representan todos el producto de 3 por 4. La multiplicación es simplemente una suma repetida. La expresión 3 × 4 significa que 3 se ha de sumar consigo mismo 4 veces, o también que 4 se ha de sumar consigo mismo 3 veces. En ambos casos, la respuesta es la misma. Pero cuando se multiplican números con varias cifras estas sumas repetidas pueden ser bastante tediosas; sin embargo, la aritmética tiene procedimientos para simplificar estas operaciones.

División

La operación aritmética de la división es la operación recíproca o inversa de la multiplicación. Usando como ejemplo 12 dividido entre 4, la división se indica con el signo de dividir (12:4), una línea horizontal (Ž) o una raya inclinada (12/4).

La división es la operación aritmética usada para determinar el número de veces que un número dado contiene a otro. Por ejemplo, 12 contiene a 4 tres veces; por eso 12 dividido entre 4 es 3, o Ž es 3.

La mayor parte de las divisiones se pueden calcular a simple vista, pero en muchos casos es más complicado y se necesita un procedimiento conocido como división larga.

TEORÍA DE LOS DIVISORES

Antes de pasar a las fracciones, se deben mencionar algunos detalles sobre otras clases de números. Un número primo es cualquier entero positivo mayor que 1 y que sólo es divisible por sí mismo y por 1. Algunos ejemplos de números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... El único número primo par es el 2. Los enteros que no son primos se denominan compuestos, y todos se pueden expresar como producto de números primos.

Teorema fundamental de la aritmética

“Todo entero mayor que 1 y que no sea un número primo es igual al producto de un y sólo un conjunto de números primos”. Este teorema fue demostrado por primera vez por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss. Dado un cierto número, por ejemplo 14, el teorema dice que se puede escribir de manera única como el producto de sus factores primos, en este caso 14 = 2 · 7. De la misma manera, 50 = 2 · 5 · 5 = 2 · 5². El menor múltiplo y el mayor divisor común a varios números se pueden calcular utilizando sus descomposiciones en factores primos.

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor número que puede ser dividido exactamente por todos y cada uno de ellos. El m.c.m. contiene todos los factores primos que aparecen en cada uno de los números dados. Por ejemplo, para encontrar el m.c.m. de tres números 27, 63 y 75, primero se descomponen en factores: 27 = 3³, 63 = 3² · 7, y 75 = 3 · 5². El m.c.m. debe contener los factores 3³, 7 y 5²; por tanto, 3³ · 7 · 5² = 4.725 es el menor número que se puede dividir exactamente entre 27, 63 y 75.

Máximo común divisor

El mayor divisor común a un conjunto dado de números es su máximo común divisor (M.C.D.). Por ejemplo, dados 9, 15 y 27, el M.C.D. es 3, que se encuentra fácilmente examinando la descomposición en factores de cada uno de los números: 9 = 3², 15 = 3 · 5, 27 = 3³; el único factor que aparece en los tres números es 3.

FRACCIONES

Los números que representan partes de un todo se denominan números racionales, fracciones o quebrados. En general, las fracciones se pueden expresar como el cociente de dos números enteros a y b:

Una fracción está en su forma reducida o canónica si el numerador y el denominador no tienen un factor común. Por ejemplo, › no está en su forma reducida pues ambos, 6 y 8, son divisibles por 2: › = (2·3)/ (2·4); sin embargo, • es una fracción en su forma canónica.

Existen dos tipos de fracciones, propias e impropias. Una fracción propia es aquella en la que el numerador es menor que el denominador; ’, -� y � son todas ellas fracciones propias. Una fracción impropia es aquella en que el numerador es mayor que el denominador; ”, -ž y œ son fracciones impropias. Las fracciones impropias se pueden convertir en números mixtos o en enteros (por ejemplo, ” = 1y -ž = -2, y œ = 2€) si se divide el numerador por el denominador y el resto se expresa como una fracción del denominador.

DECIMALES

El concepto de valores posicionales se puede extender para incluir a las fracciones. En vez de escribir ‘, o dos décimos, se puede utilizar una coma decimal (,) de manera que 0,2 representa también a la fracción. Del mismo modo que las cifras a la izquierda de la coma representan las unidades, decenas, centenas..., aquéllas a la derecha de la coma representan los lugares de las décimas (s), centésimas (t), milésimas (1/1.000) y así sucesivamente. Estos valores posicionales siguen siendo potencias de 10, que se escriben como 10^-1, 10^-2, 10^-3... En general, un número como 5.428,632 se denomina quebrado o fracción decimal, y 0,632 representa

Este número se lee como: “cinco mil cuatrocientos veintiocho coma seiscientos treinta y dos”.

Recta real

Recta real, recta sobre la que se representan los números reales. Para ello se destaca uno de sus puntos, O, que se toma como origen y al que se le asigna el número cero, 0, y, separados entre sí por intervalos de amplitud fija u (unidad), se sitúan correlativamente los números enteros, los positivos a la derecha de 0 y los negativos a su izquierda.

Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales que pueden ser tan precisas como se desee sin más que tener en cuenta tantas cifras decimales como sea necesario. De este modo se establece una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de la recta (a cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa). El número real que corresponde a un cierto punto de la recta es su abscisa.

La recta real es la base de las coordenadas cartesianas y, por tanto, de la geometría analítica y de la representación gráfica de las funciones.