Simplificar fracciones

La forma más simple de una fracción es una fracción “que no se puede reducir más”. Esto significa, en lenguaje matemático, que no puede ser simplificada, y que hemos encontrado su fracción irreducible.
¿Cómo podemos saber si una fracción está totalmente reducida? Si una fracción no está en su forma irreducible, ¿cómo podemos transformarla en su forma más simple?
A continuación, tendremos respuesta a estas dos cuestiones.

I. Definiciones y propiedades
1. Definiciones
Definición 1: a y b son dos números naturales, siendo

; decimos que podemos simplificar la fracción

si a y b tienen un máximo común divisor (M.C.D.) k mayor o igual que 2.
En ese caso, habrá dos números naturales c y d tal que a = c × k y b = d × k y podremos escribir:

; decimos que hemos simplificado la fracción por k.
Por ejemplo, la fracción

puede ser simplificada por 2, así que:

.
Definición 2: a y b son dos números naturales, siendo

. Decimos que la fracción

está en su forma más simple, o que no puede ser reducida (es irreducible), si no puede simplificarse más.
2. Propiedad
Decir que una fracción

está simplificada o que es irreducible, significa que a y b no tienen ningún divisor común aparte del 1, o que el M.C.D. (a, b) = 1.
Por ejemplo, la fracción

no puede ser reducida porque el único divisor común de 7 y 6 es el 1.
Usando esta propiedad, para saber si una fracción

está en su forma irreducible o no, solo necesitamos calcular el máximo común divisor de a y b.
Y nos encontraremos con dos posibilidades:
- si el M.C.D. (a, b) = 1, la fracción está en su forma irreducible;
- si el M.C.D. (a, b)

1, podemos simplificar la fracción y calcular la fracción irreducible simplificando por el M.C.D. (a, b) que acabamos de calcular.
II. Calcular el máximo común divisor de dos números
1. Los distintos métodos
Propiedad: si a y b son dos números naturales distintos de cero, tal que a > b, entonces: M.C.D. (a, b) = M.C.D. (b, a – b).
Método: para calcular el máximo común divisor de dos números naturales aplicaremos la propiedad anterior muchas veces y en cada etapa obtendremos un número más pequeño. Los dos ejemplos de abajo muestran cómo se lleva a cabo el proceso.
Ejemplo 1: calcula el máximo común divisor de 18 y de 12. Hacemos sucesivamente: M.C.D. (18, 12) = M.C.D. (12, 6) = M.C.D. (6, 6) = 6.
Ejemplo 2: calcula el máximo común divisor de 45 y de 32. Hacemos sucesivamente: M.C.D. (45, 32) = M.C.D. (32, 13) = M.C.D. (19, 13) = M.C.D. (13, 6) = M.C.D. (7, 6) = M.C.D. (6, 1) = 1.
La etapa final del proceso ha de ser una de las siguientes:
- M.C.D. (n, n), donde

; en este caso el M.C.D. será n;
- M.C.D. (n, 1), donde

; en este caso el M.C.D. será 1.
2. Algoritmo de Euclides
Propiedad: si a y b son dos números naturales distintos de cero, tal que a > b y si llamamos r al resto de la división de a entre b, entonces M.C.D. (a, b) = M.C.D. (b, r). Esta propiedad es conocida como algoritmo de Euclides porque usa este tipo de división con resto, la cual es conocida como división euclidiana.
Método: para calcular el máximo común divisor de dos números naturales aplicaremos la propiedad anterior varias veces y pararemos en la primera división cuyo resto sea cero. El máximo común divisor será entonces el último resto distinto de cero de toda la serie de divisiones que hemos realizado. Todo el algoritmo se verá más fácilmente si presentamos los pasos y los resultados organizados en una tabla, mediante el siguiente ejemplo:
Ejemplo: calcula el máximo común divisor de 128 y de 58.

El máximo común divisor de 128 y 58 es igual a 2.
3. Por descomposición factorial
Para calcular el M.C.D. (a, b) realizamos la descomposición en factores primos de los dos números y la expresamos mediante potencias. A continuación, escogemos aquellos factores primos que sean comunes a ambos y que estén elevados al menor exponente. Si resolvemos su producto, obtenemos el máximo común divisor de a y b.
Este método no solo sirve para calcular el máximo común divisor de dos números, sino que se puede aplicar a tantos como necesitemos. Vamos a verlo con un ejemplo.
Ejemplo: queremos calcular el máximo común divisor de 84, 120 y 168.
Factorizamos los tres números:

Y luego los expresamos con potencias:

Ahora escogemos y multiplicamos los factores comunes, elevados al menor exponente: 22 · 3 = 4 · 3 = 12. Por lo tanto, el M.C.D. (84, 120, 168) = 12.
III. Ejemplos de aplicación
1. Reconocer si una fracción está simplificada o no
Ejemplo: queremos demostrar que la fracción

es irreducible.
Calculamos el máximo común divisor de 352 y 159 usando el algoritmo de Euclides y obtenemos la siguiente tabla:

Por lo tanto, tenemos que el M.C.D. (159, 352) = 1; lo cual demuestra que

es una fracción irreducible.
2. Calcular la fracción irreducible de una fracción cualquiera
Ejemplo 1: queremos hallar la fracción irreducible de la fracción

, simplificando por el máximo común divisor calculado mediante el algoritmo de Euclides.
Si calculamos el máximo común divisor de 1.612 y 1.519 usando el algoritmo de Euclides, obtenemos la siguiente tabla:

Tenemos que el M.C.D. (1.612, 1.519) = 31. Por lo tanto, podemos simplificar la fracción por 31 y obtenemos la irreducible:

Ejemplo 2: queremos hallar la fracción irreducible de la fracción

, simplificando por el máximo común divisor hallado por descomposición factorial.
Calculamos el máximo común divisor del numerador y del denominador por factorización:

Por lo tanto,

El M.C.D. (1.320, 2.100) = 22 · 3 · 5 = 4 · 3 · 5 = 60.
Simplificamos

por 60:

. La fracción irreducible de

.
Nota: como resulta obvio, una fracción cualquiera y su irreducible, son fracciones equivalentes entre sí.
IV. Un método rápido para simplificar fracciones
Queremos hallar la fracción irreducible de