Cálculo

Cálculo, rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua.

EVOLUCIÓN HISTÓRICA

El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímedes utilizaron el 'método de agotamiento' para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII, Francesco B. Cavalieri y Evangelista Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos). Fermat e Isaac Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Isaac Newton (hacia 1660) y Gottfried W. Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz.

En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo irlandés George Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bernhard Bolzano y Augustin Louis Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas; Cauchy y Bernhard Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Julius Dedekind y Karl Weierstrass con los números reales. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo.

CÁLCULO DIFERENCIAL

El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por la ecuación y = f(x), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo e y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un pequeño incremento h en la x, de un valor x₀ a x₀ + h, produce un incremento k en la y que pasa de y₀ = f(x₀) a y₀ + k = f(x₀ + h), por lo que k = f(x₀ + h) - f(x₀). El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x varía de x₀ a x₀ + h. La gráfica de la función y = f(x) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los puntos A = (x₀,y₀) y B = (x₀ + h, y₀ + k) en esta curva; esto se muestra en la figura 1, en donde h = AC y k = CB, así es que k/h es la tangente del ángulo BAC.

Si h tiende hacia 0, para un x₀ fijo, entonces k/h se aproxima al cambio instantáneo de la y en x₀; geométricamente, B se acerca a A a lo largo de la curva y = f(x), y la recta AB tiende hacia la tangente a la curva, AT, en el punto A. Por esto, k/h tiende hacia la pendiente de la tangente (y por tanto de la curva) en A. Así, se define la derivada f′(x₀) de la función y = f(x) en x₀ como el límite que toma k/h cuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:

Este valor representa la magnitud de la variación de y y la pendiente de la curva en A. Cuando, por ejemplo, x es el tiempo e y es la distancia, la derivada representa la velocidad instantánea. Valores positivos, negativos y nulos de f′(x₀) indican que f(x) crece, decrece o es estacionaria respectivamente en x₀. La derivada de una función es a su vez otra función f′(x) de x, que a veces se escribe como dy/dx, df/dx o Df. Por ejemplo, si y = f(x) = x² (parábola), entonces

por lo que k/h = 2x₀ + h, que tiende hacia 2x₀ cuando h tiende hacia 0. La pendiente de la curva cuando x = x₀ es por tanto 2x₀, y la derivada de f(x) = x² es f′(x) = 2x. De manera similar, la derivada de x^m es mx^m-1 para una m constante. Las derivadas de las funciones más corrientes son bien conocidas (véase la tabla adjunta con algunos ejemplos).

Para calcular la derivada de una función, hay que tener en cuenta unos cuantos detalles: primero, se debe tomar una h muy pequeña (positiva o negativa), pero siempre distinta de cero. Segundo, no toda función f tiene una derivada en todas las x₀, pues k/h puede no tener un límite cuando h → 0; por ejemplo, f(x) = |x| no tiene derivada en x₀ = 0, pues k/h es 1 o -1 según que h > 0 o h < 0; geométricamente, la curva tiene un vértice (y por tanto no tiene tangente) en A = (0,0). Tercero, aunque la notación dy/dx sugiere el cociente de dos números dy y dx (que indican cambios infinitesimales en y y x) es en realidad un solo número, el límite de k/h cuando ambas cantidades tienden hacia cero.

Diferenciación es el proceso de calcular derivadas. Si una función f se forma al combinar dos funciones u y v, su derivada f′ se puede obtener a partir de u, v y sus respectivas derivadas utilizando reglas sencillas. Por ejemplo, la derivada de la suma es la suma de las derivadas, es decir, si f = u + v (lo que significa que f(x) = u(x) + v(x) para todas las x) entonces f′ = u′ + v′. Una regla similar se aplica para la diferencia: (u - v)′ = u′ - v′. Si una función se multiplica por una constante, su derivada queda multiplicada por dicha constante, es decir, (cu)′ = cu′ para cualquier constante c. Las reglas para productos y cocientes son más complicadas: si f = uv entonces f′ = uv′ + u′v, y si f = u/v entonces f′ = (u′v-uv′)/v² siempre que v(x) ≠ 0. Utilizando estas reglas se pueden derivar funciones complicadas; por ejemplo, las derivadas de x² y x⁵ son 2x y 5x⁴, por lo que la derivada de la función 3x² - 4x⁵ es (3x² - 4x⁵)′ = (3x²)′ - (4x⁵)′ = 3·(x²)′ - 4·(x⁵)′ = 3·(2x) - 4·(5 x⁴) = 6x - 20x⁴. En general, la derivada de un polinomio cualquiera f(x) = a₀ + a₁x + ... + a_nxⁿ es f′(x) = a₁ + 2a₂x + ... + na_nx^n-1; como caso particular, la derivada de una función constante es 0. Si y = u(z) y z = v(x), de manera que y es una función de z y z es una función de x, entonces y = u(v(x)), con lo que y es función de x, que se escribe y = f(x) donde f es la composición de u y v; la regla de la cadena establece que dy/dx = (dy/dz)·(dz/dx), o lo que es lo mismo, f′(x) = u′(v(x))·v′(x). Por ejemplo, si y = e^z en donde e = 2,718... es la constante de la exponenciación, y z = ax donde a es una constante cualquiera, entonces y = e^ax; según la tabla, dy/dz = e^z y dz/dx = a, por lo que dy/dx = ae^ax.

Muchos problemas se pueden formular y resolver utilizando las derivadas. Por ejemplo, sea y la cantidad de material radiactivo en una muestra dada en el instante x. Según la teoría y la experiencia, la cantidad de sustancia radiactiva en la muestra se reduce a una velocidad proporcional a la cantidad restante, es decir, dy/dx = ay con una cierta constante negativa a. Para hallar y en función de x, hay que encontrar una función y = f(x) tal que dy/dx = ay para cualquier x. La forma general de esta función es y = ce^ax en donde c es una constante. Como e⁰ = 1, entonces y = c para x = 0, así es que c es la cantidad inicial (tiempo x = 0) de material en la muestra. Como a<0, se tiene que e^ax → 0 cuando x crece, por lo que y → 0, confirmando que la muestra se reducirá gradualmente hasta la nada. Este es un ejemplo de caída exponencial que se muestra en la figura 2a. Si a es una constante positiva, se obtiene la misma solución, y = ce^ax, pero en este caso cuando el tiempo transcurre, la y crece rápidamente (como hace e^ax si a>0). Esto es un crecimiento exponencial que se muestra en la figura 2b y que se pone de manifiesto en explosiones nucleares. También ocurre en comunidades animales donde la tasa de crecimiento es proporcional a la población.

CÁLCULO INTEGRAL

El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración. Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada es F′ = f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = ∫f(x)dx o simplemente F = ∫f dx (esta notación se explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la integración: como la derivada de x² es 2x, la integral de 2x es x². Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante de integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F + c)′ = F′ + c′ = f + 0 = f. Por ejemplo, ∫2xdx = x² + c.

Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de la diferenciación. La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por una constante. Así, la integral de x = ½·2x es ½x², y de forma similar ∫x^m dx = x^m+1/(m + 1) para cualquier m ≠ -1 (no se incluye el caso de m = -1 para evitar la división por 0; el logaritmo neperiano ln|x| es la integral de x^-1 = 1/x para cualquier x ≠ 0). La integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se pueden integrar utilizando éstas y otras reglas (ver la tabla).

Una aplicación bien conocida de la integración es el cálculo de áreas. Sea A el área de la región delimitada por la curva de una función y = f(x) y por el eje x, para a ≤ x ≤ b. Para simplificar, se asume que f(x) ≥ 0 entre a y b. Para cada x ≥ a, sea L(x) el área de la región a la izquierda de la x, así es que hay que hallar A = L(b). Primero se deriva L(x). Si h es una pequeña variación en la x, la región por debajo de la curva entre x y x + h es aproximadamente un rectángulo de altura f(x) y anchura h (véase figura 3); el correspondiente incremento k = L(x + h) - L(x) es por tanto, aproximadamente, f(x)h, por lo que k/h es, aproximadamente, f(x). Cuando h → 0 estas aproximaciones tienden hacia los valores exactos, así es que k/h → f(x) y por tanto L′(x) = f(x), es decir, L es la integral de f. Si se conoce una integral F de f entonces L = F + c para cierta constante c. Se sabe que L(a) = 0 (pues el área a la izquierda de la x es cero si x = a), con lo que c = -F(a) y por tanto L(x) = F(x) - F(a) para todas las x ≥ a. El área buscada, A = L(b) = F(b) - F(a), se escribe

Éste es el teorema fundamental del cálculo, que se cumple siempre que f sea continua entre a y b, y se tenga en cuenta que el área de las regiones por debajo del eje x es negativa, pues f(x) < 0. (Continuidad significa que f(x) → f(x₀) si x→ x₀, de manera que f es una curva sin ninguna interrupción).

El área es una integral definida de f que es un número, mientras que la integral indefinida ∫f(x)dx es una función F(x) (en realidad, una familia de funciones F(x) + c). El símbolo ∫ (una S del siglo XVII) representa la suma de las áreas f(x)dx de un número infinito de rectángulos de altura f(x) y anchura infinitesimal dx; o mejor dicho, el límite de la suma de un número finito de rectángulos cuando sus anchuras tienden hacia 0.

La derivada dy/dx = f′(x) de una función y = f(x) puede ser diferenciada a su vez para obtener la segunda derivada, que se denota d²y/dx², f′′(x) o D²f. Si por ejemplo x es el tiempo e y es la distancia recorrida, entonces dy/dx es la velocidad v, y d²y/dx² = dv/dx es el incremento en la velocidad, es decir, la aceleración. Según la segunda ley del movimiento del Newton, un cuerpo de masa constante m bajo la acción de una fuerza F adquiere una aceleración a tal que F = ma. Por ejemplo, si el cuerpo está bajo la influencia de un campo gravitatorio F = mg (donde g es la magnitud del campo), y entonces ma = F = mg por lo que a = g, y por tanto dv/dx = g. Al integrar, se tiene que v = gx + c, en donde c es una constante; sustituyendo x = 0 se ve que c es la velocidad inicial. Integrando dy/dx = v = gx + c, se tiene que y = ½gx² + cx + b en donde b es otra constante; sustituyendo de nuevo x = 0 se tiene que b es el valor inicial de la y.

Las derivadas de orden superior f⁽ⁿ⁾(x) = dⁿy/dxⁿ = Dⁿf de f(x) se calculan diferenciando n veces sucesivamente. El teorema de Taylor muestra que f(x) se puede aproximar como una serie de potencias f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ + ..., donde los coeficientes a₀,a₁, ... son constantes tales que a_n = f⁽ⁿ⁾(0)/n! (en donde 0!=1 y n!= 1 × 2 × 3 × ... × n para cualquier n ≥ 1). Las funciones utilizadas más a menudo pueden aproximarse por series de Taylor; por ejemplo si f(x) = e^x se tiene que f⁽ⁿ⁾(x) = e^x para cualquier n, y que f⁽ⁿ⁾(0) = e⁰ = 1 por lo que:

DERIVADAS PARCIALES

Las funciones con varias variables tienen también derivadas. Sea z = f(x, y), es decir, z es función de x e y. Si se mantiene y constante temporalmente, z es una función de x, con lo que al diferenciar se obtiene la derivada parcial δz/δx = δf/δx; de la misma manera, si se toma la x como constante y se diferencia con respecto de la y se obtiene δz/δy = δf/δy. Por ejemplo, si z = x² - xy + 3y² se tiene que δz/δx = 2x - y y que δz/δy = -x + 6y. Geométricamente, una ecuación z = f(x, y) define una superficie en un espacio tridimensional; si los ejes x e y son horizontales y el eje z es vertical, entonces δz/δx y δz/δy representan los gradientes de dicha superficie en el punto (x, y, z) en la dirección de los ejes x e y, respectivamente. Las derivadas parciales también se pueden calcular para funciones con más de dos variables, considerando que todas las variables menos una son constantes y derivando con respecto a ésta. Utilizando este procedimiento es posible calcular derivadas parciales de orden superior. Las derivadas parciales son importantes en las matemáticas aplicadas, pues existen funciones que dependen de diversas variables, como el espacio y el tiempo.

Ecuación diferencial

Ecuación diferencial, ecuación en la que figura una función y = f(x), y al menos una de sus derivadas. La primera derivada de una función y = f(x), o derivada de primer orden, f’(x), es la velocidad a la que cambia y con respecto a x. Si la función se representa gráficamente, la primera derivada en cualquier punto es la pendiente de la curva en ese punto. La segunda derivada, o derivada de segundo orden, f’’(x), es sencillamente la derivada de la derivada, y así sucesivamente. Véase Cálculo.

A menudo, las ecuaciones diferenciales representan leyes naturales relativas a la velocidad de un determinado cambio. Una solución de una ecuación diferencial es una función y = f(x) que satisface la ecuación; la solución general es una fórmula que representa todas las soluciones posibles.

Una ecuación diferencial de orden n es una ecuación en la que figura la derivada enésima, denotada por dⁿy/dxⁿ = f⁽ⁿ⁾(x), y ninguna derivada de orden superior. Para ver un ejemplo de ecuación diferencial de primer grado que corresponde a una ley natural, hagamos que x represente el tiempo e y la masa de una muestra radiactiva en el momento x. Se ha demostrado que y disminuye a una velocidad dy/dx proporcional a la masa de material radiactivo que queda; por tanto,

donde a es negativo puesto que y disminuye. La solución general de esta ecuación diferencial viene dada por y = ce^ax, donde c es una constante igual a la masa de material en el momento x = 0.

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden surgen a menudo en problemas relativos al movimiento bajo la influencia de fuerzas. Si un objeto recorre la distancia y en el tiempo x, entonces dy/dx es su velocidad y d²y/dx² es su aceleración. Si el objeto tiene una masa constante m y está sometido a una fuerza F, la segunda ley de Newton (véase Mecánica) afirma que

Si F es la fuerza gravitatoria mg, e y representa la distancia caída, entonces m·d²y/dx² = F = mg, por lo que

Como se demuestra en cálculo, la solución general de (2) es

donde a y b son constantes, iguales respectivamente a la velocidad y la distancia en el momento x = 0. Como ilustran estos ejemplos, la solución general de una ecuación diferencial de orden n implica n constantes arbitrarias, como son c en (1), o a y b en (2).

Se dispone de muchos métodos potentes para resolver distintos tipos de ecuaciones diferenciales, pero no hay un método único que resuelva todas, y en algunos casos sólo pueden hallarse soluciones aproximadas mediante técnicas numéricas. Las ecuaciones diferenciales parciales implican derivadas parciales de una función de dos o más variables.