Calcular la mediana de una serie de datos

Un alumno ha obtenido una nota de 7 sobre 20 en matemáticas. Ante un resultado tan malo, intenta hacer que sus padres se sientan menos molestos por la nota que ha sacado, diciéndoles que hay la misma cantidad de alumnos con notas más bajas y más altas que las suyas.

Utilizando el vocabulario estadístico, diríamos que la nota que ha sacado el alumno se corresponde con la mediana. Como en geometría, la palabra mediana se corresponde con la idea de término medio. La mediana de una serie de datos es semejante a la media, una medida de tendencia central. Pero, ¿cómo se calcula?

I. Definiciones y algunos ejemplos
1. Definición

Si tenemos una serie de datos ordenada, el valor de la mediana es aquel que se encuentra en el centro de la serie, es decir, corta o divide la serie en dos grupos del mismo tamaño (con igual número de datos):
—un grupo está formado por valores menores que la mediana o iguales a ella;
—el otro grupo está formado por valores mayores que la mediana o iguales a ella.

2. Ejemplos

Cuando la muestra es impar
Vamos a calcular la mediana de cada una de las siguientes series de números.
Lo primero que tenemos que hacer, si los datos no están ordenados, es ordenar la serie, ya sea de forma creciente o decreciente, tal como mostramos a continuación.

Primera serie: 2, 6, 7, 25, 58.
El número 7 es la mediana de la serie pues divide la serie en dos grupos de igual número de datos: 2 y 6 (valores menores que 7), y 25 y 58 (valores mayores que 7).

Segunda serie: 4, 7, 9, 9, 11, 15, 17.
El número 9 es la mediana de la serie. Divide la serie en dos grupos de igual número de datos: 4, 7 y 9 (valores menores o iguales que 9), y 11, 15 y 17 (valores mayores que 9).
Conclusión: si la muestra de datos es impar, la mediana se calcula fácilmente: es el valor central de la serie. La serie queda dividida en dos grupos que contienen la misma cantidad de datos y cuyos valores están por encima y por debajo de la mediana.

Cuando la muestra de datos es una cantidad par

Vamos a calcular la mediana de cada una de las siguientes series de valores.
Lo primero que tenemos que hacer, si los datos no están ordenados, es ordenar la serie, ya sea de forma creciente o decreciente, tal como mostramos a continuación.

Primera serie: 1, 5, 12, 13, 21, 24.
Tomamos los dos valores que se hallan en el centro de la serie y calculamos su media:

El valor 12,5 es el valor de la mediana de esta serie ya que divide la serie en dos grupos de igual número de datos: 1, 5 y 12 (valores menores que 12,5), y 13, 21 y 24 (valores mayores que 12,5).
Segunda serie: 5, 14, 18, 19, 19, 25, 47, 56.
En este caso no hay mayor problema porque los dos valores centrales de la serie son el mismo número. Luego el 19 es el valor de la mediana de esta serie de valores. El 19 divide la serie en dos grupos del mismo número de datos: 5, 14, 18 y 19 (valores menores o iguales que 19), y 19, 25, 47 y 56 (valores mayores o iguales que 19).
Conclusión: si la serie contiene un número par de datos, los dos grupos con igual número de datos se corresponden con las dos mitades de la serie ordenada. Y para calcular la mediana solo es necesario hallar la media de los dos valores centrales de la serie.
II. Calcular la mediana
1. Cuando los datos están desordenados
Si la serie de datos no está ordenada, debemos ordenarla.
Ejemplo: mostramos una serie ordenada de las puntuaciones que ha obtenido un alumno en un examen:
2; 3; 5; 6; 6; 8; 9; 9,5; 10; 10; 10; 11; 11; 12; 14; 14; 15,5; 16; 17; 17,5; 19.
Al contar el número de puntuaciones, encontramos que hay un total de 21 valores. Como tenemos que dividir la serie en dos mitades con el mismo número de elementos, nos quedarían dos grupos de 10 valores; por tanto, la mediana será el valor sobrante que no esté en ninguno de estos grupos. Es decir, será el valor undécimo de la serie. La mediana es 10.
Podemos representarla así:

2. Cuando los datos vienen dados en una tabla de frecuencias
Ejemplo: la tabla de abajo nos muestra la distribución de las notas (sobre 20) obtenidas por los alumnos de una clase en el último examen.

Primer paso: calcular las frecuencias acumuladas. Observa como la última frecuencia acumulada siempre nos informa acerca del número total de individuos que forman la muestra. En este caso es 22.

Segundo paso: dividimos el total de datos entre dos: como el total es 22, dividimos las notas en dos grupos de 11.
Tercer paso: observamos en la tabla solo la columna de frecuencias acumuladas y escogemos la primera modalidad cuya frecuencia acumulada sea mayor que 11. Es decir, el 9 tiene una frecuencia acumulada de 14 (14 > 11), por lo tanto, el 9 es la mediana de esta serie.
3. Los datos vienen dados en un gráfico de frecuencias acumuladas
El gráfico es una curva llamada polígono de frecuencias acumuladas y nos muestra la distribución de las notas en una clase de 22 alumnos. Se construye colocando las notas en el eje de las x (abscisas) y su correspondiente frecuencia acumulada en el eje y (ordenadas). A continuación, se marcan los puntos definidos por cada par de valores (x, y) y se conectan mediante líneas. De esta forma queda dibujado el polígono de frecuencias.

La mitad del número total de datos es 11. Podemos observar en el gráfico que a este valor de y, le corresponde un valor de x que se encuentra comprendido entre 6 y 7. Por lo tanto, la mediana sería el valor de la media de 6 y 7:

Es decir, la mediana es 6,5.