Multiplicar números racionales

Ya sabemos multiplicar números positivos. Pero, ¿cómo se trabaja con los números negativos?

I. Multiplicar dos números que llevan signo positivo o negativo
1. Reglas generales
El producto de dos números con signo es otro número, tal que:
—el valor absoluto del resultado es el producto de los valores absolutos de los dos números;
—si los dos números tienen el mismo signo, el resultado es positivo;
—si los dos números tienen diferente signo, el resultado es negativo;
—si uno de los dos números es cero, entonces el resultado es cero.
Ejemplos:
(–7) × (–3) = 21
–3,2 × 6,5 = –20,8

2. Con una calculadora
Antes de nada, es necesario que nos demos cuenta de que hay dos teclas en la calculadora que, aunque se parecen, no debemos confundir:
—la tecla    , que se usa para restar;
—la tecla   , que nos permite introducir números negativos o bien convertir un número en su opuesto.
Ejemplos:
—si introducimos la secuencia: 7     4   , en la pantalla aparecerá el número 3;
—si introducimos la secuencia: 5  , en la pantalla aparecerá -5;
—si introducimos la secuencia: 7    , primero aparecerá -7 y después 7;
—si introducimos la secuencia: 5     3     , obtendremos –15 como resultado;
—si introducimos la secuencia: 5       3     , en la pantalla aparecerá 15.
Los resultados mostrados por la calculadora verifican las reglas expuestas en el apartado anterior.
II. Multiplicar varios números
1. Propiedades conmutativa y asociativa
Podemos comprobar que:
(–4) × (–2,7) = 10,8 y (–2,7) × (–4) = 10,8
Se trata de la propiedad conmutativa de la multiplicación, que afirma que el orden en que operamos los factores no altera el resultado. De forma más general, la podemos expresar así:
a · b = b · a
Observa ahora la posición de los paréntesis y cómo hemos agrupado los números:
((–3) × 5) × (–2) = (–15) × (–2) = 30 y (–3) × (5 × (–2)) = (–3) × (–10) = 30
Se trata de la propiedad asociativa de la multiplicación, que afirma que al multiplicar varios números podemos agruparlos como queramos. De forma general podemos expresarla así:
(a · b) · c = a · (b · c) = b · (a · c)
Ejemplo: calcula A = (–1,25) × 6,28 × 8.
A = (–1,25) × 6,28 × 8 = (–1,25) × 8 × 6,28 = (–10) × 6,28 = –62,8
¡Multiplicar primero (–1,25) × 8 es mucho más fácil que calcular (–1,25) × 6,28!
2. El signo de un producto de varios factores
El signo del producto de varios factores depende solo del número de factores negativos que haya en la multiplicación:
—si hay un número par de factores negativos, entonces el resultado es positivo;
—si hay un número impar de factores negativos, entonces el resultado es negativo.
Ejemplos:
En la multiplicación (–3) × (–5) × 7 × (–2) el resultado será negativo, porque hay tres números negativos, y la cantidad 3 es una cantidad impar.
En la multiplicación (–1) × (–2) × (–3) × (–4) × (–5) × (–6) × 7 el resultado será positivo, porque hay seis factores negativos, y la cantidad 6 es una cantidad par.
(–1)2.001 = -1, porque hay 2.001 factores negativos, todos iguales a -1, y 2.001 es una cantidad impar.
(–1)2.000 = 1, porque hay 2.000 factores negativos, todos iguales a -1, y 2.000 es una cantidad par.
III. Multiplicar fracciones
1. El signo de una fracción
—Las fracciones cuyos términos tienen el mismo signo, son de signo positivo.
—Las fracciones cuyos términos tienen distinto signo, son de signo negativo.
Ejemplos:
y son fracciones positivas, y podemos reemplazar por .
y son negativas.
Nota: si nos dan una fracción así: o así , podemos expresarla como: . Cuando una fracción sea negativa y tengamos que utilizar el valor negativo al hacer operaciones, será el numerador de la fracción el que haga uso del signo.
2. Multiplicar fracciones
Para multiplicar dos fracciones aplicamos la regla anterior de los signos y multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. No olvides que muchas veces ahorramos en cálculos si antes de resolver la multiplicación, simplificamos los términos de la fracción, tal como hacemos en el ejemplo.
Ejemplo: