Calcular el volumen de una pirámide o de un cono

Se supone que ya sabemos cómo se calcula el volumen de un prisma recto y de un cilindro. La misma fórmula

proporciona el volumen para ambos.

¿Podrá una misma fórmula permitirnos calcular el volumen de una pirámide y de un cono?

I. El volumen de la pirámide

1. Fórmula

Supongamos que tenemos una pirámide de altura h y que la superficie de su base tiene un valor B.

El volumen de la pirámide vendría dado por la fórmula:

, o bien:

Donde V, B y h deben ir expresadas en unidades de medida que se correspondan; por ejemplo, si h se expresa en cm, B irá en cm² y V en cm³.

Nota: el volumen de una pirámide es una tercera parte del volumen de un prisma recto que tenga la misma base y la misma altura.

2. Ejemplo

Problema: calcula el volumen de una pirámide regular de base cuadrada cuyo lado AB mide 7 m, y con una arista AS de 8 m.

Solución:

—Antes de poder usar la fórmula

, debemos calcular el valor del área de la base (B). Como la base es un cuadrado, el área será: B = l²; B = l × l; B = 7²; B = 49 m².

—También debemos calcular la altura SH de la pirámide.

Observa la figura y comprobarás que para hallar la altura SH del triángulo

, es necesario usar el teorema de Pitágoras: h² = C² + c², que si lo adaptamos al problema: AS² = SH² + AH², y despejando tenemos que SH²= AS²- AH²;

Para hallar SH tan solo necesitamos introducir los datos en la fórmula anterior; el único problema es que aún no conocemos el valor de AH. Veamos:

El triángulo

es un triángulo rectángulo isósceles, por lo que AH = HB. Si usamos el teorema de Pitágoras tenemos que: AB² = AH²+ AH²; AB²= 2AH²;

;

Por lo tanto:

Ahora ya podemos hallar SH:

;

Por fin tenemos los datos necesarios para sustituirlos en la fórmula del volumen de la pirámide: el área de la base (B = 49 m²) y la altura (SH = 6,29 m).

Como

, sustituyendo tenemos que:

; y, por tanto:

V = 102,7 m³.

II. El volumen del cono

1. Fórmula

Un cono tiene una altura h y una superficie de su base que llamaremos B.

Su volumen vendrá dado por la fórmula:

, o bien:

Donde V, B y h deben ir expresadas en unidades de medida que se correspondan; por ejemplo, si h se expresa en cm, B irá en cm² y V en cm³.

Notas:

—el volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro que tenga la misma base y altura:

—si r es el radio de la base:

Donde V, r y h deben ir expresadas en unidades de medida que se correspondan; por ejemplo, h en cm, r en cm y V en cm³.

2. Ejemplos

Problema 1: calcular el volumen de un cono de 7 cm de altura, cuya base circular tiene un radio de 4 cm.

Solución: usando la fórmula ,

tenemos:

El volumen de este cono es aproximadamente de 117 cm³.

Problema 2: tomamos un triángulo rectángulo y lo hacemos rotar en torno a uno de sus catetos, formándose en su revolución la figura de un cono. Dependiendo de cuál sea el cateto que escojamos como eje de rotación, obtendremos uno de los dos conos que aparecen en la figura de abajo. Si sabemos que C = 8 cm y c = 6 cm, ¿cuál de los dos conos tendría mayor volumen?