Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado

Imagina el siguiente experimento: colocamos tres puntos, A, M y B en una circunferencia y dibujamos el ángulo

. Ahora trazamos un nuevo ángulo

, siendo O el centro de la circunferencia, y entonces medimos el ángulo

. A continuación, cambiamos la posición del punto M, dejando fijos los puntos A y B. Posiblemente tengamos la impresión de que el tamaño del ángulo

es siempre igual a la mitad del ángulo

. ¿Estaremos en lo cierto?

I. Definiciones
A y B son dos puntos cualesquiera de una circunferencia que tiene el centro en el punto O. El ángulo

es conocido con el nombre de ángulo central de la circunferencia. A partir de ahora diremos que el ángulo intercepta el arco AB.

Nota: los puntos A y B de la figura de arriba definen dos ángulos centrales: un ángulo central menor

que intercepta el menor arco que forman A y B, y un ángulo central mayor

que intercepta el arco mayor que forman A y B.
A, B y M son tres puntos distintos de una circunferencia. El ángulo

recibe el nombre de ángulo inscrito. También podemos decir que este ángulo intercepta el arco AB.

II. Propiedades
1. Ángulo inscrito y ángulo central interceptan el mismo arco
Propiedad: la amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad de la amplitud del ángulo central que intercepta el mismo arco.
Ejemplo: en la figura 3, el ángulo inscrito

y el ángulo central

interceptan el mismo arco AB; podemos deducir que:

2. Ángulos inscritos que interceptan el mismo arco
Propiedad: dos ángulos inscritos (en la misma circunferencia) que interceptan el mismo arco, tienen el mismo tamaño.
Ejemplo: en la figura 4, los ángulos inscritos

interceptan el mismo arco AB. Deducimos que

Podemos demostrar esta última propiedad: para hacerlo llamaremos O al centro de la circunferencia.
El ángulo inscrito

y el ángulo central

interceptan el mismo arco.
Así, usando la propiedad anterior, tenemos que:

.
De la misma forma, el ángulo inscrito

y el ángulo central

interceptan el mismo arco AB.
Usando la propiedad anterior, tenemos también que:

.
A partir de estas dos igualdades podemos deducir el siguiente resultado:

.
III. Aplicaciones
1. Calcular la amplitud de un ángulo
Problema: consideremos una estrella regular de cinco puntas. Podemos construirla trazando las diagonales que unen los vértices del pentágono regular ABCDE representado en la figura 5.
Vamos a calcular la amplitud del ángulo

Solución: sabemos que los vértices de un pentágono regular se encuentran todos en la misma circunferencia: llamaremos O al centro de esta circunferencia.
Consideremos un ángulo central

y el ángulo inscrito

: ambos interceptan el mismo arco CD, por tanto, podemos deducir que:

.
El ángulo central de un pentágono regular es igual a

.
Por lo tanto, tenemos que

y, en consecuencia,

, o bien

.
2. Demostración de una propiedad
Vamos a demostrar una propiedad que ya hemos estudiado: un triángulo inscrito en una semicircunferencia, es siempre un triángulo rectángulo.
Tomemos una circunferencia con centro en O y diámetro BC, así como un punto A, distinto de B y C, en la misma. Vamos a demostrar que el triángulo