La palabra trigonometría procede del griego y significa “estudio de las relaciones numéricas entre las medidas de un triángulo”. El seno, el coseno y la tangente son tres razones trigonométricas.
¿Cómo calculamos esas razones y cuáles son sus propiedades?
I. Definiciones
Dado un triángulo
Podemos definir las tres razones siguientes:
- seno (sen) :
- coseno (cos) :
- tangente (tg) :
Nota: para calcular cualquiera de estas tres razones, las longitudes de los lados del triángulo deben estar expresadas en las mismas unidades.
Ejemplo: si aplicamos estas definiciones al ángulo
II. Propiedades
Si aplicamos las definiciones previas al otro ángulo agudo del triángulo de la figura 1, es decir, a
Si comparamos con las expresiones para el ángulo
Así pues, para los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo podemos afirmar que: el seno de uno de los dos ángulos es igual al coseno del otro, y la tangente de uno es igual a la inversa de la tangente del otro.
Por tanto, ya que los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, podemos afirmar que: si dos ángulos (no nulos, diferentes de 0º) son complementarios, el seno de uno es igual al coseno del otro, y la tangente de uno es igual a la inversa de la tangente del otro.
Por ejemplo, sen 67° = cos 23° porque el ángulo de 67º y el ángulo de 23º son complementarios (67° + 23° = 90°).
III. Ejemplos
1. Ejemplo 1
Problema: sea
Solución: para calcular los valores exactos de
LM² = EL² + EM², es decir, LM² = 12² + 5², de donde LM² = 169, y LM =
Por definición:
Igualmente:
Finalmente:
Nota: usando una calculadora podemos obtener un valor aproximado para el ángulo
Para ello, tendremos que introducir la siguiente secuencia de teclas: 12
2. Ejemplo 2
Problema: sea
Solución: por definición,
Calculamos el valor exacto de HR, la hipotenusa, usando el teorema de Pitágoras:
HR² = HP² + PR², y sustituyendo valores: HR² = 1² + 1², de donde HR² = 2; así pues
Entonces
Según las propiedades que hemos estudiado anteriormente, y puesto que los dos ángulos
Por definición,
En resumen:
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