Definir y utilizar el coseno de un ángulo

Sea uno de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Para ese ángulo, cuya amplitud tiene un determinado valor, el cociente o razón entre su cateto contiguo o adyacente y la hipotenusa del triángulo es siempre la misma. A esa razón la llamamos coseno de dicho ángulo. 
Pero, ¿qué utilidad tiene el coseno de un ángulo?

I. Coseno de un ángulo agudo
1. Definición
Sea un triángulo rectángulo y su ángulo recto. es el coseno del ángulo agudo .
Escribimos: (para memorizarlo fácilmente, podemos escribir: , donde “cateto contiguo” significa ‘el lado contiguo o adyacente al ángulo Â y que no es la hipotenusa’).
Nota: el coseno del ángulo Â depende solamente de la amplitud del ángulo. Para convencerte, analiza la figura siguiente.

es un ángulo agudo. y son, respectivamente, los ángulos rectos de los triángulos y .
Como las líneas CB y C'B' son paralelas, podemos aplicar el teorema de Tales, de manera que: .
Si intercambiamos AB y AC', tenemos: .
Se puede ver que la razón no depende de la posición que ocupa el punto C sobre la semirrecta Ay. Por tanto, se puede calcular dicho cociente referido a cualquier triángulo rectángulo que tenga el punto C sobre la semirrecta Ay, el punto B sobre la semirrecta Ax y su ángulo recto sea .
A dicho cociente se le llama coseno del ángulo agudo .
2. Propiedades
El valor del coseno de un ángulo agudo siempre está comprendido entre 0 y 1 porque la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el mayor de sus tres lados.
Algunos valores particulares del coseno son:

II. Aplicaciones
1. Calcular longitudes
Ejemplo: sea un triángulo rectángulo y su ángulo recto. Con las longitudes dadas en centímetros, ST = 7 y .
Queremos hallar los valores de RS y RT aproximados a las décimas, es decir, a 0,1 cm.

Solución: en el triángulo , es su ángulo recto, de manera que podemos escribir:

Sustituyendo resulta:

Despejando SR tenemos: .
Si utilizamos una calculadora científica hemos de:
—asegurarnos de que la calculadora esté en modo grados (degree);
—teclear la secuencia: 7 35 (o esta otra: 7 35 ). En la pantalla aparecerá el resultado 5,73…
Redondeando a 0,1 cm, el segmento SR mide 5,7 cm.
Para hallar RT, podríamos usar el teorema de Pitágoras, pero obtendríamos un valor inexacto, ya que solo disponemos de un valor aproximado de SR.
En vez de eso, vamos a calcular la amplitud del ángulo . Puesto que y son complementarios, .
Por la misma razón que antes, se tendrá que:

De donde .
Aproximando a 0,1 cm, se obtiene que el cateto RT mide 4,0 cm (a veces se deja el 0 para recordar que el resultado se ha aproximado a 0,1 cm).
2. Calcular ángulos
Ejemplo: sea un triángulo rectángulo, con su ángulo recto en G y con las longitudes dadas en centímetros, FG = 8 y FH = 11; queremos hallar cuánto mide el ángulo (aproximando a 0,1°).

Solución: como el triángulo es rectángulo en G, podemos escribir: 
Sustituyendo resulta:

Así pues, el problema es hallar cuánto vale un ángulo del que conocemos lo que vale su coseno.
Utilizando una calculadora científica hemos de:
—asegurarnos de que la calculadora esté en modo grados (degree);
—teclear la secuencia: (8 11) (o esta otra: (8 11) ).
En la pantalla aparecerá el resultado 43,34…
Redondeando a 0,1º, el ángulo mide 43,3°.
Notas:
—en algunas calculadoras, la tecla viene reemplazada por esta otra: ;
—en otras calculadoras, las teclas y (o y ) vienen reemplazadas por una única tecla: .

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