En el tablero de ajedrez de la figura 1, imagina que el caballo negro, situado en la casilla D3 se desplaza a F4: este desplazamiento puede interpretarse como una traslación de un cierto vector
Pero también podríamos considerar que el punto de llegada (punto central de la casilla F4) es la imagen del punto de salida (punto central de la casilla D3) mediante dos traslaciones sucesivas: una traslación horizontal de dos casillas a la derecha y una traslación vertical de una casilla hacia arriba. Estas dos traslaciones nos permiten decir que las coordenadas o componentes del vector
I. Leer las coordenadas de un vector
1. Componentes de un vector
Sea Oxy un sistema de coordenadas cartesianas y
Para leer las coordenadas del vector
Es decir, para trasladarnos de A a B, primero nos desplazamos paralelamente a Ox, y después paralelamente a Oy.
El desplazamiento paralelo a Ox será la abscisa, coordenada x o componente x del vector:
—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las x crecientes (a la derecha de O), se considera un valor positivo;
—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las x decrecientes (a la izquierda de O), se considera un valor negativo.
El desplazamiento paralelo a Oy será la ordenada, coordenada y o componente y del vector:
—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las y crecientes (hacia arriba de O), se considera un valor positivo;
—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las y decrecientes (hacia abajo de O), se considera un valor negativo;
Ejemplo: consideremos la figura 2.
Para ir de A a B, necesitamos desplazarnos 4 unidades paralelamente al eje Ox en la dirección de las x crecientes; la abscisa o coordenada x del vector es entonces +4. Después necesitamos desplazarnos 2 unidades paralelamente al eje Oy en la dirección de las y decrecientes; la ordenada o coordenada y del vector
El vector
2. Ejemplos
Queremos deducir de la figura 3, las coordenadas de los vectores
Las coordenadas de estos vectores son:
Nota: algunos vectores son paralelos a uno de los ejes de referencia, como por ejemplo el vector
Un caso particular: el vector nulo tiene por coordenadas (0, 0), independientemente de cuál sea el origen de coordenadas, ya que la representación de dicho vector es un punto.
II. Representar un vector de coordenadas dadas
1. Un ejemplo
Representemos un vector de coordenadas (–5, 1) en el sistema de coordenadas cartesianas Oxy. Dibujemos un vector
Para ello escojamos un punto cualquiera A, por ejemplo A (1, 2), y situemos el punto B, que es la imagen de A por una traslación del vector
—nos desplazamos 5 unidades desde A, paralelamente al eje Ox en el sentido de las x decrecientes (lo que corresponde a la abscisa -5 de
—después nos desplazamos 1 unidad paralelamente a Oy en el sentido de las y crecientes (lo que corresponde a la ordenada +1 de
Se obtiene el punto B.
2. Otros ejemplos
Ejemplo 1: queremos representar los siguientes vectores en un sistema de coordenadas cartesianas Oxy:
Ejemplo 2: sea Oxy un sistema de coordenadas cartesianas, y
Se trata de construir un vector con origen en M que represente al vector
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