Leer las coordenadas o componentes de un vector y representar un vector de coordenadas dadas

En el tablero de ajedrez de la figura 1, imagina que el caballo negro, situado en la casilla D3 se desplaza a F4: este desplazamiento puede interpretarse como una traslación de un cierto vector que transforma D3 en F4.
Pero también podríamos considerar que el punto de llegada (punto central de la casilla F4) es la imagen del punto de salida (punto central de la casilla D3) mediante dos traslaciones sucesivas: una traslación horizontal de dos casillas a la derecha y una traslación vertical de una casilla hacia arriba. Estas dos traslaciones nos permiten decir que las coordenadas o componentes del vector son 2 y 1.
I. Leer las coordenadas de un vector
1. Componentes de un vector
Sea Oxy un sistema de coordenadas cartesianas y un vector que une dos puntos A y B cualesquiera, también llamado vector .
Para leer las coordenadas del vector , podemos descomponer la traslación que transforma A en B, que es la traslación del vector , en dos traslaciones sucesivas: primero una paralela al eje horizontal Ox, y después otra paralela al eje Oy.
Es decir, para trasladarnos de A a B, primero nos desplazamos paralelamente a Ox, y después paralelamente a Oy.
El desplazamiento paralelo a Ox será la abscisa, coordenada x o componente x del vector:
—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las x crecientes (a la derecha de O), se considera un valor positivo;
—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las x decrecientes (a la izquierda de O), se considera un valor negativo.
El desplazamiento paralelo a Oy será la ordenada, coordenada y o componente y del vector:
—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las y crecientes (hacia arriba de O), se considera un valor positivo;
—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las y decrecientes (hacia abajo de O), se considera un valor negativo;
Ejemplo: consideremos la figura 2.

Para ir de A a B, necesitamos desplazarnos 4 unidades paralelamente al eje Ox en la dirección de las x crecientes; la abscisa o coordenada x del vector es entonces +4. Después necesitamos desplazarnos 2 unidades paralelamente al eje Oy en la dirección de las y decrecientes; la ordenada o coordenada y del vector es entonces – 2.
El vector tiene pues las coordenadas (4, –2). Lo escribimos así: (4, -2).
2. Ejemplos
Queremos deducir de la figura 3, las coordenadas de los vectores , , , , , , y .

Las coordenadas de estos vectores son:
(-2, -3); (0, -4); (-6, 0); (4, 1); (0, 2); (2, -5); (3, 0); (-4, 3).
Nota: algunos vectores son paralelos a uno de los ejes de referencia, como por ejemplo el vector . Este vector corresponde a un desplazamiento de 0 unidades paralelamente al eje Ox (no hay por tanto desplazamiento horizontal) y de 4 unidades paralelamente al eje Oy, en la dirección de las y decrecientes. Sus coordenadas son entonces (0, –4).
Un caso particular: el vector nulo tiene por coordenadas (0, 0), independientemente de cuál sea el origen de coordenadas, ya que la representación de dicho vector es un punto.
II. Representar un vector de coordenadas dadas
1. Un ejemplo
Representemos un vector de coordenadas (–5, 1) en el sistema de coordenadas cartesianas Oxy. Dibujemos un vector que represente a este vector .
Para ello escojamos un punto cualquiera A, por ejemplo A (1, 2), y situemos el punto B, que es la imagen de A por una traslación del vector (-5, 1). Según lo expuesto en el apartado I.1:
—nos desplazamos 5 unidades desde A, paralelamente al eje Ox en el sentido de las x decrecientes (lo que corresponde a la abscisa -5 de );
—después nos desplazamos 1 unidad paralelamente a Oy en el sentido de las y crecientes (lo que corresponde a la ordenada +1 de ).
Se obtiene el punto B.

2. Otros ejemplos
Ejemplo 1: queremos representar los siguientes vectores en un sistema de coordenadas cartesianas Oxy:
(4, -3); (0, 2); (-5, -2); (4, 6); (-4, 0).

Ejemplo 2: sea Oxy un sistema de coordenadas cartesianas, y y dos vectores tales que (5, 2) y (-4, 3). Sean los puntos M (–1, –3) y P (2, 1). Queremos situar los puntos R y S definidos por las igualdades vectoriales  =  y  =  .
Se trata de construir un vector con origen en M que represente al vector y otro vector con origen en P que represente al vector. Para ello seguimos el método utilizado en el ejemplo del apartado II.1.