Construir la imagen de un punto por una traslación

Si duplicamos una figura haciéndola deslizar a lo largo de una recta d, se dice que la figura así obtenida es la imagen de la figura inicial mediante una traslación.
¿Cómo definir esta transformación en el plano?

I. ¿Qué es una traslación?
Una traslación queda definida por un punto y su imagen.

1. Definición
Sean A y B dos puntos distintos de un plano, y M otro punto diferente del mismo plano. La imagen del punto M por la traslación que transforma el punto A en el punto B es el punto M' tal que ABM'M es un paralelogramo (que quedará reducido a una recta si los puntos A, B, y M están alineados).



Según la figura 1, M tiene como imagen a M' y N tiene como imagen a N'. La flecha muestra que A tiene a B por imagen.

Nota: se debe tener cuidado con el orden de las letras (ABM'M es un paralelogramo pero ABMM' no).

2. Propiedades

Si M' es la imagen de M por la traslación que transforma A en B, entonces:
—MM' = AB;
—las rectas AB y MM' son paralelas;
—las semirrectas [AB) y [MM') tienen la misma dirección;
—los segmentos BM y AM' tienen el mismo punto central.
II. Construir la imagen de un punto utilizando regla y compás
Sea una traslación definida por un punto A y su imagen B (A ≠ B). Queremos construir la imagen del punto M.
1. Si el punto M no pertenece a la recta AB
Sea un punto M que no pertenece a la recta AB. Vamos a construir la imagen M' de M por esta traslación.
El problema es hallar un punto M' tal que ABM'M sea un paralelogramo. Para obtener M' con regla y compás, procedemos de la siguiente forma:
—Pinchamos con el compás sobre el punto A y abrimos su otro extremo hasta el punto B. Sin modificar la abertura del compás, pinchamos sobre el punto M y trazamos un arco de circunferencia.
—Pinchamos de nuevo el compás sobre el punto A, pero ahora lo abrimos hasta el punto M. Sin modificar la abertura, pinchamos sobre el punto B y trazamos otro arco de circunferencia, que cortará al arco anterior en el punto M’.
—Trazando los segmentos AM, MM' y BM' tendremos dibujado el paralelogramo. La figura 2 muestra la construcción.



2. Si el punto M pertenece a la recta AB
Sea un punto M perteneciente a la recta AB. Vamos a construir la imagen M' de M por esta traslación.
El punto M' es un punto de la recta AB tal que las longitudes AB y MM' son iguales, y las semirrectas [AB) y [MM') tienen la misma dirección.
Para obtener la imagen M' pinchamos el compás sobre el punto A y abrimos su otro extremo hasta el punto B. Sin modificar la abertura, pinchamos el compás sobre el punto M y trazamos un arco de circunferencia, que cortará a la recta en el punto M’. La figura 3 muestra las fases de esta construcción.