Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial

Se puede transformar un punto mediante dos traslaciones sucesivas.
¿Cómo podemos usar esta transformación para definir la suma de dos vectores?
Además, ¿cómo construimos la suma de dos vectores cualesquiera?

I. Composición de dos traslaciones
Observemos la figura 1.


Sea M un punto del plano, y y dos vectores cualesquiera; M' es la imagen de M por la traslación de vector y M'' es la imagen de M' por la traslación de vector .
Por tanto, M'' es la transformación del punto M por dos traslaciones sucesivas: la traslación de vector , y después la traslación de vector . Es lo que llamamos composición de estas dos traslaciones.
Así lo construimos:
Sean y dos vectores que representan a y ;para construir la imagen M', dibujamos un paralelogramo ABM'M tal que ; M' es pues la imagen de M por la traslación de vector o vector .
Para construir M'', dibujamos un paralelogramo BCM''M' tal que  ; M'' es entonces la imagen de M' por la traslación de vector o vector .


Podemos demostrar ahora que ACM''M es un paralelogramo.
Hemos construido los dos paralelogramos ABM'M y BCM''M'. Como los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos y de igual longitud, tenemos:
AM || BM', AM = BM', BM' || CM'' y BM'= CM''.
Y de aquí deducimos que: AM || CM'' y AM = CM''.
El cuadrilátero ACM''M tiene dos lados paralelos que tienen la misma longitud, por tanto, es un paralelogramo, y M'' es entonces la imagen de M por la traslación de vector .
Propiedad: transformar un punto M por dos traslaciones sucesivas de vectores y es equivalente a transformar el punto por la traslación de vector .
II. Suma de dos vectores
1. Definición
Al vector se la llama vector suma de los vectores y . Podemos escribir: = + .


La propiedad demostrada en el apartado I se puede enunciar de nuevo de esta forma: la composición de la traslación de vector y la traslación de vector es una traslación de vector + .
2. Propiedades de la suma de dos vectores
Propiedad 1: sean y dos vectores cualesquiera. Entonces + = + .
Esta propiedad se ilustra en la figura 4, en la que se ha dibujado el paralelogramo ABCD en el que = y = . Podemos comprobar que + = + = , y + = + = , es decir, + = + .



Propiedad 2: suma de dos vectores opuestos.
y representan dos vectores opuestos; podemos entonces escribir: + = .
representa un vector de longitud cero, es decir, su módulo es cero, . A este vector se le llama vector nulo, y se representa por 0 o . Este es el único vector que no
tiene dirección ni sentido. El vector nulo se representa por un punto.
En resumen, la suma de dos vectores opuestos es igual al vector nulo.
III. Construir la suma de dos vectores
1. Usando un triángulo (regla del polígono)
Sean y dos vectores, representados respectivamente por y .
Para representar la suma + , dibujamos un vector que represente a con origen en B, que llamaremos . Para ello, construimos el paralelogramo BEDC.
Tendremos entonces que + = + = y de esa forma es un vector que representa al vector + .



2. Usando un paralelogramo (regla del paralelogramo)
Sean y dos vectores cualesquiera. Supongamos que los vectores que los representan, y , tienen elmismo origen A.
Construimos el paralelogramo ABDC; tendremos que: + = + . Como = , ya que ABDC es un paralelogramo, resulta que: + = + = .
Así que el vector + queda representado por el .