Divisores de un número. El máximo común divisor de varios números

Estamos preparando unas cabañas para albergar a un grupo de 30 alumnos que van a pasar unos días de campamento. En el grupo hay 12 chicos y 18 chicas. ¿De cuántas plazas, como máximo, debe ser cada cabaña para que cada una de ellas esté ocupada solo por chicos o solo por chicas?

I. Definición de divisor de un número
Decimos que un número a es divisor de otro número b, si la división de b entre a es exacta. También podemos decir que si a es divisor de b, entonces b es múltiplo de a.
Ejemplo: comprueba si 3 es divisor de 12.
Podemos afirmar que 3 es divisor de 12 porque 12 : 3 = 4 y el resto es igual a 0.
También podemos aplicar la prueba de la división para comprobarlo. Recuerda que la prueba de la división afirma que:

En este caso, podemos probar que 4 · 3 + 0 = 12.
Notas o propiedades:
—Para expresar que a es divisor de b se simboliza así: . Según el ejemplo anterior, podemos decir que .
—El 1 es divisor de cualquier número. Porque cualquier número tiene división exacta.
—Todo número es divisor de sí mismo. Porque siempre se cumple que y, por tanto, la división es exacta.
—De ese modo, como hemos visto en las dos propiedades anteriores, todo número, exceptuando el cero, tiene siempre dos divisores como mínimo: el 1 y él mismo.
—Si un número a es divisor de otro número b, entonces el cociente de esa división también es divisor de b. Por ejemplo, si 6 es divisor de 18, el cociente, que en este caso es 3, también es divisor de 18 (efectivamente 18 : 3 = 6 y la división es exacta).
—Los números que solo tienen por divisores a 1 y a sí mismos se llaman números primos. Por ejemplo, 23 es un número primo porque solo podemos realizar divisiones exactas con él si lo dividimos entre 1 o entre 23.
—Los números que no son primos, es decir, que tienen más divisores que el 1 y él mismo, se denominan números compuestos.
II. Los divisores de un número
1. Los divisores de un número son finitos
Todos los divisores de un número a han de ser mayores que 1 y menores que a. Por lo tanto, el conjunto de todos los divisores de un número es un conjunto finito de valores. Por ejemplo, para expresar el conjunto de todos los divisores de 12 lo representamos así:

Existe un método para calcular todos los divisores de un número; vamos a verlo con un ejemplo.
Ejemplo: calcula todos los divisores de 72.
Factorizamos 72:

Por lo tanto, 72 = 23 · 32.
Construimos una tabla con las potencias de los factores primos:

Y multiplicamos las filas por las columnas:

Los números contenidos en la tabla, más el 1, serían todos los divisores de 72. Expresado de otra forma:

Para comprobar que los tenemos todos, existe un método rápido para saber cuántos divisores tiene un número: sumamos 1 a los exponentes de sus factores primos y multiplicamos el resultado. Vamos a verlo con el ejemplo anterior.

Ejemplo: queremos saber cuántos divisores tiene 72.
Al factorizar 72 tenemos que 72 = 23 · 32.
Sumamos 1 a los exponentes del 2 y del 3: 3+1 y 2+1.
Multiplicamos los resultados: (3+1) · (2+1) = 4 · 3 = 12. El número 72 tiene 12 divisores.
2. Divisores comunes de varios números

Puede ocurrir que si calculamos el conjunto de los divisores de varios números, nos encontremos que hay números que están en todos los conjuntos. Es decir, que hay números que pueden ser divisores de varios números distintos. Vamos a verlo con un ejemplo.
Ejemplo: comprueba si el 24 y el 36 tienen algún divisor común.
Si seguimos el algoritmo descrito en el apartado anterior, obtenemos:


Si comparamos ambos conjuntos podemos apreciar que hay números que se encuentran en ambos grupos. Es decir, que podemos crear un conjunto de números que son divisores a la vez del número 24 y del 36, y lo expresamos así: . Se trata de los divisores comunes de 24 y 36.
Nota: también puede ocurrir que los números no tengan divisores comunes, exceptuando el 1; entonces se dice que los números son primos entre sí.
Ejemplo: queremos comprobar si 64 y 225 tienen divisores comunes. Calculamos:


Y obtenemos que: 
El único número que aparece en los dos conjuntos es el 1. Por lo tanto, decimos que el 64 y el 225 son primos entre sí.
3. Máximo común divisor de varios números
Es el mayor de los divisores comunes de varios números.
Si observamos el ejemplo anterior, en el que calculábamos los divisores de 24 y 36 y obteníamos que: , podemos comprobar que de entre todos los divisores comunes hay uno de ellos que es el mayor. Efectivamente, estamos hablando del número 12.
En este ejemplo, el 12 es el máximo común divisor de 24 y 36. Es decir, el mayor de los divisores comunes de 24 y 36.
Para expresar de forma abreviada que 12 es el máximo común divisor de 24 y 36, lo hacemos así: M.C.D. (24, 36) = 12.
Vuelve a leer ahora el problema de las cabañas y comprobarás que resulta fácil de resolver si hubiéramos calculado el máximo común divisor de 12 y de 18. Observa:


De tal manera que: 
Por lo tanto, el M.C.D. (12, 18) = 6. Es decir, podríamos formar cabañas de solo chicos o solo chicas si los organizamos en grupos de 6.
4. Cálculo del máximo común divisor de dos o más números por factorización
Existe un método más rápido para calcular el máximo común divisor de varios números. De esta forma nos evitamos el proceso de tener que calcular todos los divisores, para después seleccionar el mayor de los comunes. El método es muy parecido al del cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m.). De nuevo recurrimos a la herramienta de la descomposición factorial. Vamos a ver cómo se resuelve con un ejemplo.
Ejemplo: calcula el máximo común divisor de 90, 126 y 72.
Hacemos la descomposición factorial de 90, 126 y 72:

y la expresamos así: 
Ahora escogemos solamente los factores primos comunes (que estén en los tres grupos) y, de ellos, los que estén elevados al menor exponente. Es decir, escogemos el 2 y el 32.
Los multiplicamos y ya tenemos el máximo común divisor (18). Expresado correctamente, quedaría así: M.C.D. (90, 126, 72) = 2 · 32 = 2 · 9 = 18.
III Aplicaciones
1. Simplificar una fracción hasta su irreducible
Al realizar operaciones con fracciones nos vamos a ver en la necesidad de trabajar con aquellas que sean las más sencillas posibles. Para conseguirlo necesitaremos simplificarlas al máximo, es decir, encontrar su equivalente más sencilla: la fracción irreducible. Veamos cómo conseguirlo usando el máximo común divisor mediante un ejemplo.
Ejemplo: simplifica la fracción , hasta hallar su equivalente irreducible.
Factorizamos el numerador y el denominador:

y entonces, 
Hallamos el M.C.D. (360, 336). Para ello elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:
M.C.D. (360, 336) = 23 · 3 = 8 · 3 = 24.
Dividimos el numerador y el denominador entre 24 y obtenemos la fracción equivalente irreducible:


Por lo tanto, .
2. Resolver problemas
Muchos problemas de matemáticas son parecidos al que veíamos en la introducción. Siempre se trata de agrupar cantidades diferentes en “paquetes” (máximo común divisor) que se adapten a ellas. Vamos a verlo con un ejemplo.
Ejemplo: queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas cuadradas. La cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. ¿De qué tamaño tengo que comprar las baldosas de manera que encajen enteras en estas dimensiones y sean lo más grande posible? ¿Cuántas baldosas tengo que comprar?
Solución: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor común de 270 y 180, y el más grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el máximo común divisor de 270 y 180.
Factorizamos 270 y 180:

y entonces, 
M.C.D. (270,180) = 2 · 32 · 5 = 2 · 9 · 5 = 90.
Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina sin tener que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuántas necesitamos:
270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo.
180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho.
3 · 2 = 6 baldosas.