Construir un prisma recto y calcular su área total

Para construir una caja rectangular, dibujamos una plantilla, llamada desarrollo, en un papel blanco, el cual cortaremos y doblaremos. ¿Cómo podemos construir este desarrollo y cómo podemos calcular el área total del prisma recto?

I. Construir el desarrollo de un prisma recto
Queremos construir el desarrollo del prisma recto que se muestra en la figura 1.



—Las dos bases del prisma son triangulares e idénticas. Las medidas de sus lados son 1 cm, 1,5 cm y 2 cm respectivamente. La altura mide 0,75 cm.

—La superficie lateral está formada por tres caras rectangulares de la misma altura, que es la misma que la altura del prisma, ya que se trata de un prisma recto: 3 cm.

—Las dimensiones de las bases de sus caras rectangulares son las mismas que las longitudes de los lados de las bases triangulares: 1 cm, 1,5 cm y 2 cm.

En la figura 2, podemos ver el desarrollo del prisma y cómo plegarlo una vez cortado.



Nota: hay un gran número de desarrollos diferentes, tantos como distintos tipos de prismas rectos. La figura de abajo nos muestra dos de ellos.

II. Calcular el área total de un prisma recto
El área lateral de un prisma recto es la suma de las áreas de sus caras laterales. Si al área lateral le sumamos las áreas de sus bases, obtenemos el área total del prisma. Conviene tener en cuenta que las dos bases de un prisma son iguales, es decir, tienen la misma área.
1. Ejemplo
Tomemos el prisma recto de la figura 1. El área lateral es igual al área del rectángulo grande que se forma al hacer su desarrollo, el cual aparece coloreado de naranja. Este rectángulo está compuesto de tres rectángulos, y sus dimensiones son: 4,5 cm de base (1,5 + 2 + 1 = 4,5) por 3 cm de altura. Por tanto, su área lateral es: AL = b × a; AL = 4,5 cm x 3 cm = 13,5 cm2.
Ahora vamos a calcular el área de sus dos bases. Las bases son triángulos, por lo tanto, el área de las bases es:
; 
Ahora calcularemos el área total (AT) sumando el lateral (AL) y el de las bases (AB): AT = AL + AB ; AT = 13,5 cm2 + 1,50 cm2.
Nota: podemos observar que la base del rectángulo grande coincide con el perímetro de cada una de las dos bases triangulares.
2. Caso general
La superficie lateral AL de un prisma recto de altura h y bases de perímetro P viene dada por la fórmula: AL = P × h. La superficie de las bases, AB, de un prisma recto de base triangular viene dada por la fórmula: , siendo b la base del triángulo y a su altura.
Por tanto, podemos resumir la fórmula que calcula el área total de un prisma recto de base triangular de la siguiente forma: AT = AL + AB, es decir:

Y simplificando el 2, nos queda:

Para aplicar esta fórmula, P, h, b y a deben estar expresadas en las mismas unidades de medida; por ejemplo, en cm, con lo que A vendría expresada en cm2.