Raíces de una ecuación

Raíz (matemáticas), enésima de un número real, a, es otro número, b, cuya potencia enésima es a. Se expresa así

 se llama radical, a es el radicando y n el índice de la raíz. El índice es un número entero mayor que 1: n ≥ 2.

La raíz de índice dos se llama raíz cuadrada y se escribe sin explicitar el índice: .

La raíz de índice tres se llama raíz cúbica.

Si el índice es par y a es positivo, existen dos raíces enésimas reales de a, una positiva y otra negativa. Pero la expresión sólo se refiere a la positiva. Es decir, las dos raíces n-ésimas de a son y – . Sin embargo, los números reales negativos no tienen ninguna raíz real de índice par.

Por ejemplo, 25 tiene dos raíces cuadradas, 5 y –5, pues 5² = 25 y (-5)² = 25; y el número 10 tiene dos raíces cuartas y – . Sin embargo, –25 no tiene ninguna raíz cuadrada porque ningún número real elevado al cuadrado da –25. Por lo mismo, –10 no tiene ninguna raíz cuarta.

Si el índice es impar, cualquiera que sea el número real, a, tiene una única raíz n-ésima. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2, la raíz cúbica de –8 es –2, y 20 tiene una única raíz cúbica que se denomina .

FORMA EXPONENCIAL DE UNA RAÍZ

La raíz n-ésima de un número puede ponerse en forma de potencia:

Por tanto,  

RAÍZ DE UNA ECUACIÓN

En una ecuación algebraica, si sustituimos la incógnita por un número y la igualdad se cumple, dicho número se denomina raíz de la ecuación. Por ejemplo, 3 es raíz de la ecuación x⁴ – 3x² – 5x – 39 = 0 porque 3⁴ – 3·3² – 5·3 – 39 es igual a 0.

RAÍZ DE UN POLINOMIO

Si un polinomio P(x) se anula cuando se sustituye x por el número a, P(a) = 0, se dice que a es raíz de P(x). Por ejemplo, 3 es raíz del polinomio x⁴ – 3x² – 5x – 39.

Operaciones básicas

Suma

Suma, adición, operación entre números u otros objetos matemáticos.

La palabra suma designa tanto la operación como el resultado de la misma. Por ejemplo, al decir “la suma de números naturales cumple la propiedad asociativa”, la palabra suma hace referencia a la operación. Al decir “la suma de 3 y 2 es 5”, la palabra suma significa el resultado de la operación.

Resta

Resta, sustracción, operación contraria a la suma.

El resultado de restar dos números se llama diferencia.

Multiplicación

Multiplicación, operación entre números u otros objetos matemáticos como polinomios, matrices y funciones. Se designa con el signo · o ×. Véase Aritmética.

División (aritmética)

INTRODUCCIÓN

División (aritmética), la operación opuesta de la multiplicación, para la cual se utiliza el signo : o bien ÷ o /.

5 : 3 = 5 ÷ 3 = 5 / 3

DIVISIÓN ENTERA

Entre dos números naturales a > b se llama división entera de a entre b a la operación en la que se obtienen otros dos números, c, cociente y r, resto, que cumplen las siguientes relaciones:

a = b · c + r 0 ≤ r < b

Entre dos polinomios P(x) y Q(x) tales que grado de P(x) ≥ grado de Q(x), se llama división entera de P(x) entre Q(x) a la operación en la cual se obtienen dos polinomios, C(x), cociente, y R(x), resto, que cumplen las siguientes relaciones:

P(x) = Q(x) · C(x) + R(x) grado de R(x) < grado de Q(x)

Cuando el resto es cero (r = 0 o R(x) = 0) se dice que la división ha sido exacta.

Infinito

Infinito, término matemático derivado de la teoría de conjuntos tal y como fue propuesto por el matemático alemán Georg Cantor. Los conjuntos se pueden dividir en dos clases dependiendo de si los elementos del conjunto forman una aplicación biunívoca (correspondencia de uno a uno) con los elementos de alguno de sus subconjuntos propios. Un conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B si todos y cada uno de los elementos de A pertenece a B pero B tiene al menos un elemento que no pertenece a A. Los elementos del conjunto [1, 2, 3] no pueden formar una correspondencia biunívoca con los elementos de cualquiera de sus subconjuntos propios; este tipo de conjuntos se denomina conjunto finito. Los elementos del conjunto [2, 4, 6, ..., 2n, ...] pueden formar una aplicación biunívoca con los elementos del subconjunto propio [6, 8, 10, ..., 2n + 4, ...] haciendo corresponder, para un entero positivo n, el elemento 2n del primer conjunto con el elemento 2n + 4 del segundo. Un conjunto que cumple esta propiedad se denomina conjunto infinito. De esta manera, el conjunto N de los enteros positivos, el conjunto R de los números racionales y el conjunto Z de los números reales son conjuntos infinitos.

Los elementos de los conjuntos N y R pueden formar una aplicación biunívoca entre sí por lo que N y R tienen iguales infinitudes; pero ni N ni R pueden formar una correspondencia de uno a uno con un subconjunto de Z. Por tanto, la infinitud de Z es mayor que la infinitud de N. Se puede demostrar que si S es un conjunto cualquiera finito o infinito, el conjunto T de los subconjuntos de S es un conjunto mayor; esto es, los elementos de S forman una correspondencia biunívoca con cualquier subconjunto propio de T, pero no con T mismo.

El término infinito se utiliza en otros ámbitos similares. Por ejemplo, en la serie infinita 1, 4, 9, ..., en la que el término n-ésimo, a_n, es igual a n², donde n = 1, 2, 3, ..., se dice que a_n tiende a infinito cuando n tiende a infinito, lo que significa que aⁿ es mayor que un cierto número arbitrario si n es mayor que determinado valor. En la serie infinita 1, , , ..., en la que el término n-ésimo b_n es 1/n, donde n = 1, 2, 3, ..., se dice que b_n tiende hacia cero cuando n tiende a infinito, lo que significa que la diferencia entre b_n y cero es menor que cierto número positivo arbitrario para n mayor que determinado valor. También se dice que f(x) = 1/(1 - x)² se acerca a, o tiende hacia, infinito cuando la x tiende hacia 1, y que la función tiende hacia cero si x tiende hacia infinito.

Ecuación indeterminada

Ecuación indeterminada, en matemáticas, nombre dado a una ecuación carente de un conjunto único de soluciones, por lo que no se puede resolver de forma única. Una ecuación indeterminada puede tener un número infinito de soluciones. Estas ecuaciones sólo tienen solución si se añaden restricciones adicionales al problema; una restricción puede ser que las soluciones deben ser números enteros.

Un ejemplo sencillo de este tipo de problemas es el siguiente: ¿cuántas monedas de cinco y veinticinco unidades se necesitan para tener cincuenta unidades? Algebraicamente, este problema se reduce a resolver la ecuación 5x + 25y = 50. Esta ecuación tiene un número infinito de soluciones si se admiten soluciones fraccionarias, pero el enunciado del problema prohibe estas soluciones, pues un tercio de moneda de 5, por ejemplo, no tiene sentido. Con esta restricción, está claro que hay tres y sólo tres soluciones: diez monedas de 5 y ninguna de 25, cinco de 5 y una de 25, y ninguna de 5 y dos de 25. Algunos de estos problemas no tienen solución, por ejemplo: ¿cuántas monedas de 5 y 25 se necesitan para tener 37 unidades?

En problemas más complejos, la solución o soluciones no son tan fáciles de encontrar, por lo que ha sido necesario desarrollar un álgebra extensa para encontrar estas soluciones. El más simple de estos problemas puede expresarse en forma de una ecuación algebraica lineal con dos incógnitas (como la ecuación mostrada en el párrafo anterior), que se resuelve utilizando el método descubierto por los matemáticos griegos Diofante y Euclides. Las soluciones, si existen, se encuentran calculando el máximo común divisor de los coeficientes de la x y de la y en la ecuación. En la ecuación anterior, los coeficientes eran 5 y 25, con lo que su máximo común divisor es 5. Si el máximo común divisor es un submúltiplo del segundo miembro de la ecuación (50 es divisible por 5), la ecuación tiene una o más soluciones enteras.

Para más información y ejemplos sencillos, véase Análisis diofántico. Muchos de los grandes matemáticos, como el alemán Carl Friedrich Gauss dedicaron bastante tiempo a la búsqueda de soluciones enteras para ecuaciones indeterminadas complejas.

Desigualdad

 Figura 3: representación gráfica de inecuaciones

La curva parabólica de esta gráfica está formada por todos los puntos del plano que satisfacen la ecuación y = x 2 - 1. El área sombreada dentro de la parábola son aquellos puntos para los que y > x 2 - 1.

Desigualdad

Desigualdad, relación matemática en la que se tiene en cuenta el orden de los números. La figura 1 muestra los símbolos utilizados para denotar una desigualdad. Por ejemplo, la desigualdad 3 < 10 indica que el número 3 es menor que el 10; la desigualdad x² ≥ 0 expresa el hecho de que el cuadrado de cualquier número real es siempre mayor o igual que cero.

Las desigualdades aparecen a menudo al describir áreas y volúmenes. Por ejemplo, si P es un punto cualquiera de la diagonal del cuadrado de la figura 2, entonces el área de los dos rectángulos sombreados en azul es siempre menor o igual que (≤) el área de los dos cuadrados sombreados en rojo.

Si una desigualdad contiene incógnitas, se denomina inecuación. Las soluciones de una inecuación como -2x + 6 > 0 son aquellos valores de la x para los que la expresión -2x + 6 es mayor que cero. Las reglas de resolución de ecuaciones del álgebra se pueden utilizar para resolver inecuaciones, con la condición de que el sentido de la desigualdad ha de invertirse si se multiplica o divide por números negativos. Por tanto, para resolver la inecuación -2x + 6 > 0, primero se resta 6 de ambos lados de la desigualdad, con lo que se obtiene -2x > -6. A continuación se dividen ambos lados de -2x > -6 por -2, sin olvidarse de invertir el sentido de la desigualdad pues -2 es negativo. Esto da x < 3, lo que significa que cualquier valor de x menor que 3 es una solución de -2x + 6 > 0.

Figura 2: superficies desiguales

En este gráfico, los cuadrados rojos ocupan una superficie mayor que los rectángulos azules. Si el punto P, vértice común a las cuatro figuras, se mueve a una posición diferente en la diagonal del cuadrado total, las cuatro áreas cambian. Sin embargo, el área total de los cuadrados rojos es siempre mayor o igual que el área total de los rectángulos azules.

Figura 1: signos de desigualdad

Una desigualdad es la relación entre números, ecuaciones, propiedades geométricas u otras expresiones que tienen valores distintos entre sí. Los signos que aparecen en esta tabla se utilizan para comparar valores de expresiones matemáticas desiguales.

Trinomio

Trinomio, polinomio con tres términos. Un trinomio de segundo grado es de la forma ax² – bx + c, siendo a, b y c números reales no nulos.

Ecuación bicuadrada

Ecuación bicuadrada, ecuación polinómica de cuarto grado sin términos de grado impar, es decir, ecuación del tipo: ax⁴ + bx² + c = 0

con a ≠ 0. Una ecuación bicuadrada se resuelve realizando el cambio de variable x² = y, pues así se transforma en una ecuación cuadrática o de segundo grado en y: ay² + by + c = 0

Cada solución de esta ecuación, según sea positiva, nula o negativa, da lugar a dos, una o ninguna soluciones de la primera, pues x = ±√y.

En el 2000 a.C.Se resuelven ecuaciones cuadráticas

Los babilonios resuelven ecuaciones cuadráticas, conocen el teorema de Pitágoras y desarrollan un sistema sexagesimal de medidas (basado en el número 60) del que se derivan las unidades modernas para tiempos y ángulos.

Binomio

Binomio, expresión algebraica que está formada exactamente por dos términos separados por + o -, como x + y o ab - cd. El teorema del binomio nos dice que la expresión general de un binomio cualquiera, como (x + y), elevado a la n-ésima potencia está dada por

El desarrollo completo contiene n + 1 términos, empezando con el término cero y terminando con el término n-ésimo. En este ejemplo, el término cero es xⁿ. El coeficiente genérico del término k en la expresión anterior es

Este teorema fue formulado en la edad media y desarrollado (alrededor de 1676) para exponentes fraccionarios por el científico inglés sir Isaac Newton, lo que le permitió el uso de sus recién descubiertos métodos de cálculo para resolver muchos problemas difíciles. El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, es muy útil en varias ramas de las matemáticas, en particular en la teoría de la probabilidad.

Número (matemáticas)

Número (matemáticas), palabra o símbolo utilizado para designar cantidades o entidades que se comportan como cantidades.

Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a la anterior y es más completa que ella y con mayores posibilidades en sus operaciones. Se enumeran a continuación.

NÚMEROS NATURALES

Son los que sirven para contar los elementos de los conjuntos: N = {0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…}

Hay infinitos. Se pueden sumar y multiplicar y con ambas operaciones el resultado es, en todos los casos, un número natural. Sin embargo, no siempre pueden restarse ni dividirse (ni 3 - 7 ni 7 : 4 son números naturales).

NÚMEROS ENTEROS

Son los naturales y los correspondientes negativos: Z = {…, -11, -10, -9,…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11,…}

Además de sumarse y multiplicarse en todos los casos, pueden restarse, por lo que esta estructura mejora a la de los naturales. Sin embargo, en general, dos números enteros no se pueden dividir. Por eso se pasa a la siguiente estructura numérica.

NÚMEROS RACIONALES

Son los que se pueden expresar como cociente de dos números enteros. El conjunto Q de los números racionales está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esas operaciones entre dos números racionales es siempre otro número racional.

NÚMEROS REALES

A diferencia de los naturales y de los enteros, los números racionales no están colocados de manera que se puedan ordenar de uno en uno. Es decir, no existe “el siguiente” de un número racional, pues entre dos números racionales cualesquiera hay otros infinitos, de modo que si se representan sobre una recta, ésta queda densamente ocupada por ellos: si tomamos un trozo de recta, un segmento, por pequeño que sea, contiene infinitos números racionales. Sin embargo, entre medias de estos números densamente situados sobre la recta existen también otros infinitos puntos que no están ocupados por racionales. Son los números irracionales.

El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es el de los números reales, de modo que todos los números mencionados hasta ahora (naturales, enteros, racionales, irracionales) son reales. Estos números ocupan la recta numérica punto a punto, por lo que se llama recta real.

Entre los números reales están definidas las mismas operaciones que entre los racionales (suma, resta, multiplicación y división, salvo por cero).

NÚMEROS IMAGINARIOS

El producto de un número real por sí mismo es siempre 0 o positivo, por lo que la ecuación x² = -1 no tiene solución en el sistema de los números reales. Si se quiere dar un valor a la x, tal que x = Á, éste no puede ser un valor real, no ya en sentido matemático sino tampoco en sentido técnico. Un nuevo conjunto de números (diferente del de los números reales), el de los números imaginarios, se usa para este fin. El símbolo i representa la unidad de los números imaginarios y equivale a Á. Estos números permiten encontrar, por ejemplo, la solución de la ecuación , que se puede escribir como

x = 3 × i o x = 3i

Los números bi, b ≠ 0, se llaman imaginarios puros.

Un número imaginario se obtiene al sumar un número real y un número imaginario puro.

NÚMEROS COMPLEJOS

En su forma general, un número complejo se representa como a + bi, donde a y b son números reales. El conjunto de los números complejos está formado por todos los número reales y todos los imaginarios.

Los números complejos se suelen representar en el llamado diagrama de Argand. Las partes real e imaginaria de un número complejo se colocan como puntos en dos líneas perpendiculares o ejes. De esta manera, un número complejo se representa como un punto único en un plano, conocido como plano complejo.

Los números complejos son de gran utilidad en la teoría de la corriente eléctrica alterna así como en otras ramas de la física, en ingeniería y en ciencias naturales.

Monomio

Monomio, producto en el que participan un número y una o varias letras. También a un número se le llama monomio. Son monomios: 4x²y; 3x; , (4 – 2)xz²; xy.

Las letras de un monomio se llaman variables o indeterminadas, pues representan números cualesquiera. El conjunto de todas las letras es la parte literal. El número que aparece multiplicando a las letras es el coeficiente.

Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras que intervienen. Los números son monomios de grado cero.

Por ejemplo:

4x²y es un monomio con coeficiente 4, parte literal x²y, y grado 3, pues la x está al cuadrado y la y elevada a 1 (2 + 1 = 3)
El coeficiente de 3x es 3 y el de (4 – 2)xz² es 4 – 2, pues es un único número expresado mediante operaciones que se dejan indicadas.
El coeficiente de xy es 1; su grado es 2.
El número  = x⁰ puede considerarse como un monomio sin parte literal. Su coeficiente es  y su grado es 0.

El valor numérico de un monomio para ciertos valores de las letras es el número que resulta al sustituir las letras por sus valores y efectuar las operaciones indicadas. El valor numérico de 4x²y para x = -5 e y = 7 es 4 · (-5)² · 7 = 700.

Monomios semejantes son los que tienen la misma parte literal. Para sumar monomios semejantes se suman sus coeficientes y se mantiene la parte literal. Por ejemplo: 7x²y + 11x²y – x²y = (7 +11 –1) x²y = 17x²y

La suma de dos monomios no semejantes no se puede simplificar, se ha de dejar indicada.

El producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y cuya parte literal es el producto de las partes literales. El grado del monomio producto es la suma de los grados de los monomios factores. Así, (5x²y)(2xyz) = (5·2)(x²yxyz) = 10x³y²z

El cociente de dos monomios no es, en general, un monomio. Sólo lo será cuando la parte literal del dividendo sea múltiplo de la parte literal del divisor. Por ejemplo, 7x²y/2xy = (7/2)x sí es monomio porque x²y es múltiplo de xy; 7x²y/2xyz = 7x/2z no es monomio.

En matemática superior se considera que el número cero es un monomio de grado “menos infinito” con el fin de que se respete la regla de que el grado del producto de los monomios es igual a la suma de los grados de los factores.

Cálculo

Cálculo, rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua.

EVOLUCIÓN HISTÓRICA

El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímedes utilizaron el 'método de agotamiento' para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII, Francesco B. Cavalieri y Evangelista Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos). Fermat e Isaac Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Isaac Newton (hacia 1660) y Gottfried W. Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz.

En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo irlandés George Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bernhard Bolzano y Augustin Louis Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas; Cauchy y Bernhard Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Julius Dedekind y Karl Weierstrass con los números reales. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo.

CÁLCULO DIFERENCIAL

El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por la ecuación y = f(x), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo e y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un pequeño incremento h en la x, de un valor x₀ a x₀ + h, produce un incremento k en la y que pasa de y₀ = f(x₀) a y₀ + k = f(x₀ + h), por lo que k = f(x₀ + h) - f(x₀). El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x varía de x₀ a x₀ + h. La gráfica de la función y = f(x) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los puntos A = (x₀,y₀) y B = (x₀ + h, y₀ + k) en esta curva; esto se muestra en la figura 1, en donde h = AC y k = CB, así es que k/h es la tangente del ángulo BAC.

Si h tiende hacia 0, para un x₀ fijo, entonces k/h se aproxima al cambio instantáneo de la y en x₀; geométricamente, B se acerca a A a lo largo de la curva y = f(x), y la recta AB tiende hacia la tangente a la curva, AT, en el punto A. Por esto, k/h tiende hacia la pendiente de la tangente (y por tanto de la curva) en A. Así, se define la derivada f′(x₀) de la función y = f(x) en x₀ como el límite que toma k/h cuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:

Este valor representa la magnitud de la variación de y y la pendiente de la curva en A. Cuando, por ejemplo, x es el tiempo e y es la distancia, la derivada representa la velocidad instantánea. Valores positivos, negativos y nulos de f′(x₀) indican que f(x) crece, decrece o es estacionaria respectivamente en x₀. La derivada de una función es a su vez otra función f′(x) de x, que a veces se escribe como dy/dx, df/dx o Df. Por ejemplo, si y = f(x) = x² (parábola), entonces

por lo que k/h = 2x₀ + h, que tiende hacia 2x₀ cuando h tiende hacia 0. La pendiente de la curva cuando x = x₀ es por tanto 2x₀, y la derivada de f(x) = x² es f′(x) = 2x. De manera similar, la derivada de x^m es mx^m-1 para una m constante. Las derivadas de las funciones más corrientes son bien conocidas (véase la tabla adjunta con algunos ejemplos).

Para calcular la derivada de una función, hay que tener en cuenta unos cuantos detalles: primero, se debe tomar una h muy pequeña (positiva o negativa), pero siempre distinta de cero. Segundo, no toda función f tiene una derivada en todas las x₀, pues k/h puede no tener un límite cuando h → 0; por ejemplo, f(x) = |x| no tiene derivada en x₀ = 0, pues k/h es 1 o -1 según que h > 0 o h < 0; geométricamente, la curva tiene un vértice (y por tanto no tiene tangente) en A = (0,0). Tercero, aunque la notación dy/dx sugiere el cociente de dos números dy y dx (que indican cambios infinitesimales en y y x) es en realidad un solo número, el límite de k/h cuando ambas cantidades tienden hacia cero.

Diferenciación es el proceso de calcular derivadas. Si una función f se forma al combinar dos funciones u y v, su derivada f′ se puede obtener a partir de u, v y sus respectivas derivadas utilizando reglas sencillas. Por ejemplo, la derivada de la suma es la suma de las derivadas, es decir, si f = u + v (lo que significa que f(x) = u(x) + v(x) para todas las x) entonces f′ = u′ + v′. Una regla similar se aplica para la diferencia: (u - v)′ = u′ - v′. Si una función se multiplica por una constante, su derivada queda multiplicada por dicha constante, es decir, (cu)′ = cu′ para cualquier constante c. Las reglas para productos y cocientes son más complicadas: si f = uv entonces f′ = uv′ + u′v, y si f = u/v entonces f′ = (u′v-uv′)/v² siempre que v(x) ≠ 0. Utilizando estas reglas se pueden derivar funciones complicadas; por ejemplo, las derivadas de x² y x⁵ son 2x y 5x⁴, por lo que la derivada de la función 3x² - 4x⁵ es (3x² - 4x⁵)′ = (3x²)′ - (4x⁵)′ = 3·(x²)′ - 4·(x⁵)′ = 3·(2x) - 4·(5 x⁴) = 6x - 20x⁴. En general, la derivada de un polinomio cualquiera f(x) = a₀ + a₁x + ... + a_nxⁿ es f′(x) = a₁ + 2a₂x + ... + na_nx^n-1; como caso particular, la derivada de una función constante es 0. Si y = u(z) y z = v(x), de manera que y es una función de z y z es una función de x, entonces y = u(v(x)), con lo que y es función de x, que se escribe y = f(x) donde f es la composición de u y v; la regla de la cadena establece que dy/dx = (dy/dz)·(dz/dx), o lo que es lo mismo, f′(x) = u′(v(x))·v′(x). Por ejemplo, si y = e^z en donde e = 2,718... es la constante de la exponenciación, y z = ax donde a es una constante cualquiera, entonces y = e^ax; según la tabla, dy/dz = e^z y dz/dx = a, por lo que dy/dx = ae^ax.

Muchos problemas se pueden formular y resolver utilizando las derivadas. Por ejemplo, sea y la cantidad de material radiactivo en una muestra dada en el instante x. Según la teoría y la experiencia, la cantidad de sustancia radiactiva en la muestra se reduce a una velocidad proporcional a la cantidad restante, es decir, dy/dx = ay con una cierta constante negativa a. Para hallar y en función de x, hay que encontrar una función y = f(x) tal que dy/dx = ay para cualquier x. La forma general de esta función es y = ce^ax en donde c es una constante. Como e⁰ = 1, entonces y = c para x = 0, así es que c es la cantidad inicial (tiempo x = 0) de material en la muestra. Como a<0, se tiene que e^ax → 0 cuando x crece, por lo que y → 0, confirmando que la muestra se reducirá gradualmente hasta la nada. Este es un ejemplo de caída exponencial que se muestra en la figura 2a. Si a es una constante positiva, se obtiene la misma solución, y = ce^ax, pero en este caso cuando el tiempo transcurre, la y crece rápidamente (como hace e^ax si a>0). Esto es un crecimiento exponencial que se muestra en la figura 2b y que se pone de manifiesto en explosiones nucleares. También ocurre en comunidades animales donde la tasa de crecimiento es proporcional a la población.

CÁLCULO INTEGRAL

El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración. Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada es F′ = f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = ∫f(x)dx o simplemente F = ∫f dx (esta notación se explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la integración: como la derivada de x² es 2x, la integral de 2x es x². Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante de integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F + c)′ = F′ + c′ = f + 0 = f. Por ejemplo, ∫2xdx = x² + c.

Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de la diferenciación. La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por una constante. Así, la integral de x = ½·2x es ½x², y de forma similar ∫x^m dx = x^m+1/(m + 1) para cualquier m ≠ -1 (no se incluye el caso de m = -1 para evitar la división por 0; el logaritmo neperiano ln|x| es la integral de x^-1 = 1/x para cualquier x ≠ 0). La integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se pueden integrar utilizando éstas y otras reglas (ver la tabla).

Una aplicación bien conocida de la integración es el cálculo de áreas. Sea A el área de la región delimitada por la curva de una función y = f(x) y por el eje x, para a ≤ x ≤ b. Para simplificar, se asume que f(x) ≥ 0 entre a y b. Para cada x ≥ a, sea L(x) el área de la región a la izquierda de la x, así es que hay que hallar A = L(b). Primero se deriva L(x). Si h es una pequeña variación en la x, la región por debajo de la curva entre x y x + h es aproximadamente un rectángulo de altura f(x) y anchura h (véase figura 3); el correspondiente incremento k = L(x + h) - L(x) es por tanto, aproximadamente, f(x)h, por lo que k/h es, aproximadamente, f(x). Cuando h → 0 estas aproximaciones tienden hacia los valores exactos, así es que k/h → f(x) y por tanto L′(x) = f(x), es decir, L es la integral de f. Si se conoce una integral F de f entonces L = F + c para cierta constante c. Se sabe que L(a) = 0 (pues el área a la izquierda de la x es cero si x = a), con lo que c = -F(a) y por tanto L(x) = F(x) - F(a) para todas las x ≥ a. El área buscada, A = L(b) = F(b) - F(a), se escribe

Éste es el teorema fundamental del cálculo, que se cumple siempre que f sea continua entre a y b, y se tenga en cuenta que el área de las regiones por debajo del eje x es negativa, pues f(x) < 0. (Continuidad significa que f(x) → f(x₀) si x→ x₀, de manera que f es una curva sin ninguna interrupción).

El área es una integral definida de f que es un número, mientras que la integral indefinida ∫f(x)dx es una función F(x) (en realidad, una familia de funciones F(x) + c). El símbolo ∫ (una S del siglo XVII) representa la suma de las áreas f(x)dx de un número infinito de rectángulos de altura f(x) y anchura infinitesimal dx; o mejor dicho, el límite de la suma de un número finito de rectángulos cuando sus anchuras tienden hacia 0.

La derivada dy/dx = f′(x) de una función y = f(x) puede ser diferenciada a su vez para obtener la segunda derivada, que se denota d²y/dx², f′′(x) o D²f. Si por ejemplo x es el tiempo e y es la distancia recorrida, entonces dy/dx es la velocidad v, y d²y/dx² = dv/dx es el incremento en la velocidad, es decir, la aceleración. Según la segunda ley del movimiento del Newton, un cuerpo de masa constante m bajo la acción de una fuerza F adquiere una aceleración a tal que F = ma. Por ejemplo, si el cuerpo está bajo la influencia de un campo gravitatorio F = mg (donde g es la magnitud del campo), y entonces ma = F = mg por lo que a = g, y por tanto dv/dx = g. Al integrar, se tiene que v = gx + c, en donde c es una constante; sustituyendo x = 0 se ve que c es la velocidad inicial. Integrando dy/dx = v = gx + c, se tiene que y = ½gx² + cx + b en donde b es otra constante; sustituyendo de nuevo x = 0 se tiene que b es el valor inicial de la y.

Las derivadas de orden superior f⁽ⁿ⁾(x) = dⁿy/dxⁿ = Dⁿf de f(x) se calculan diferenciando n veces sucesivamente. El teorema de Taylor muestra que f(x) se puede aproximar como una serie de potencias f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ + ..., donde los coeficientes a₀,a₁, ... son constantes tales que a_n = f⁽ⁿ⁾(0)/n! (en donde 0!=1 y n!= 1 × 2 × 3 × ... × n para cualquier n ≥ 1). Las funciones utilizadas más a menudo pueden aproximarse por series de Taylor; por ejemplo si f(x) = e^x se tiene que f⁽ⁿ⁾(x) = e^x para cualquier n, y que f⁽ⁿ⁾(0) = e⁰ = 1 por lo que:

DERIVADAS PARCIALES

Las funciones con varias variables tienen también derivadas. Sea z = f(x, y), es decir, z es función de x e y. Si se mantiene y constante temporalmente, z es una función de x, con lo que al diferenciar se obtiene la derivada parcial δz/δx = δf/δx; de la misma manera, si se toma la x como constante y se diferencia con respecto de la y se obtiene δz/δy = δf/δy. Por ejemplo, si z = x² - xy + 3y² se tiene que δz/δx = 2x - y y que δz/δy = -x + 6y. Geométricamente, una ecuación z = f(x, y) define una superficie en un espacio tridimensional; si los ejes x e y son horizontales y el eje z es vertical, entonces δz/δx y δz/δy representan los gradientes de dicha superficie en el punto (x, y, z) en la dirección de los ejes x e y, respectivamente. Las derivadas parciales también se pueden calcular para funciones con más de dos variables, considerando que todas las variables menos una son constantes y derivando con respecto a ésta. Utilizando este procedimiento es posible calcular derivadas parciales de orden superior. Las derivadas parciales son importantes en las matemáticas aplicadas, pues existen funciones que dependen de diversas variables, como el espacio y el tiempo.

Ecuación diferencial

Ecuación diferencial, ecuación en la que figura una función y = f(x), y al menos una de sus derivadas. La primera derivada de una función y = f(x), o derivada de primer orden, f’(x), es la velocidad a la que cambia y con respecto a x. Si la función se representa gráficamente, la primera derivada en cualquier punto es la pendiente de la curva en ese punto. La segunda derivada, o derivada de segundo orden, f’’(x), es sencillamente la derivada de la derivada, y así sucesivamente. Véase Cálculo.

A menudo, las ecuaciones diferenciales representan leyes naturales relativas a la velocidad de un determinado cambio. Una solución de una ecuación diferencial es una función y = f(x) que satisface la ecuación; la solución general es una fórmula que representa todas las soluciones posibles.

Una ecuación diferencial de orden n es una ecuación en la que figura la derivada enésima, denotada por dⁿy/dxⁿ = f⁽ⁿ⁾(x), y ninguna derivada de orden superior. Para ver un ejemplo de ecuación diferencial de primer grado que corresponde a una ley natural, hagamos que x represente el tiempo e y la masa de una muestra radiactiva en el momento x. Se ha demostrado que y disminuye a una velocidad dy/dx proporcional a la masa de material radiactivo que queda; por tanto,

donde a es negativo puesto que y disminuye. La solución general de esta ecuación diferencial viene dada por y = ce^ax, donde c es una constante igual a la masa de material en el momento x = 0.

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden surgen a menudo en problemas relativos al movimiento bajo la influencia de fuerzas. Si un objeto recorre la distancia y en el tiempo x, entonces dy/dx es su velocidad y d²y/dx² es su aceleración. Si el objeto tiene una masa constante m y está sometido a una fuerza F, la segunda ley de Newton (véase Mecánica) afirma que

Si F es la fuerza gravitatoria mg, e y representa la distancia caída, entonces m·d²y/dx² = F = mg, por lo que

Como se demuestra en cálculo, la solución general de (2) es

donde a y b son constantes, iguales respectivamente a la velocidad y la distancia en el momento x = 0. Como ilustran estos ejemplos, la solución general de una ecuación diferencial de orden n implica n constantes arbitrarias, como son c en (1), o a y b en (2).

Se dispone de muchos métodos potentes para resolver distintos tipos de ecuaciones diferenciales, pero no hay un método único que resuelva todas, y en algunos casos sólo pueden hallarse soluciones aproximadas mediante técnicas numéricas. Las ecuaciones diferenciales parciales implican derivadas parciales de una función de dos o más variables.